Aplique o método de integração por partes para resolver as integrais.
integral x^3 e^x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x^3 e^x dx usando o método de integração por partes. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente sobre técnicas de integração. Pra resolver isso, vamos precisar aplicar a fórmula de integração por partes, que ajuda a integrar produtos de funções. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Agora, precisamos escolher qual parte da nossa integral vai ser u e qual vai ser dv. Geralmente, a gente escolhe u como a função que fica mais simples quando derivada, e dv como o restante.
No nosso caso, temos x^3 e e^x. Vamos deixar u = x^3 porque derivando isso, o grau do polinômio vai diminuir, o que facilita. Assim, dv = e^x dx.

Passo 3

Agora, vamos calcular du e v.
Derivando u:
du = ddx(x^3) dx = 3x^2 dx
Integrando dv:
v = integral e^x dx = e^x

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula de integração por partes:
integral x^3 e^x dx = u cdot v - integral v cdot du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x^3 e^x dx = x^3 e^x - integral e^x cdot 3x^2 dx
Simplificando:
integral x^3 e^x dx = x^3 e^x - 3 integral x^2 e^x dx

Passo 5

Agora, precisamos calcular integral x^2 e^x dx. Vamos aplicar integração por partes de novo.
Escolha u = x^2 e dv = e^x dx.
Derivando u:
du = 2x dx
Integrando dv:
v = e^x
Aplicando a fórmula:
integral x^2 e^x dx = x^2 e^x - integral e^x cdot 2x dx
Simplificando:
integral x^2 e^x dx = x^2 e^x - 2 integral x e^x dx

Passo 6

Vamos calcular integral x e^x dx agora. Mais uma vez, usamos integração por partes.
Escolha u = x e dv = e^x dx.
Derivando u:
du = dx
Integrando dv:
v = e^x
Aplicando a fórmula:
integral x e^x dx = x e^x - integral e^x dx
Simplificando:
integral x e^x dx = x e^x - e^x

Passo 7

Vamos substituir esse resultado de volta na equação anterior:
integral x^2 e^x dx = x^2 e^x - 2 (x e^x - e^x)
Distribuindo o -2:
integral x^2 e^x dx = x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x

Passo 8

Agora, vamos substituir esse resultado na equação do Passo 4:
integral x^3 e^x dx = x^3 e^x - 3 (x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x)
Distribuindo o -3:
integral x^3 e^x dx = x^3 e^x - 3x^2 e^x + 6x e^x - 6 e^x

Passo 9

Por fim, podemos fatorar e^x na expressão:
integral x^3 e^x dx = e^x (x^3 - 3x^2 + 6x - 6) + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

integral x^3 e^x dx = e^x (x^3 - 3x^2 + 6x - 6) + C

Exercícios relacionados