Aplique o método de integração por partes para resolver as integrais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando o método de integração por partes. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente sobre técnicas de integração. Pra resolver isso, vamos precisar aplicar a fórmula de integração por partes, que ajuda a integrar produtos de funções. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
Agora, precisamos escolher qual parte da nossa integral vai ser
e qual vai ser
. Geralmente, a gente escolhe
como a função que fica mais simples quando derivada, e
como o restante.
No nosso caso, temos
e
. Vamos deixar
porque derivando isso, o grau do polinômio vai diminuir, o que facilita. Assim,
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
.
Derivando
:
Integrando
:
Passo 4
Vamos aplicar a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos calcular
. Vamos aplicar integração por partes de novo.
Escolha
e
.
Derivando
:
Integrando
:
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
Passo 6
Vamos calcular
agora. Mais uma vez, usamos integração por partes.
Escolha
e
.
Derivando
:
Integrando
:
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
Passo 7
Vamos substituir esse resultado de volta na equação anterior:
Distribuindo o -2:
Passo 8
Agora, vamos substituir esse resultado na equação do Passo 4:
Distribuindo o -3:
Passo 9
Por fim, podemos fatorar
na expressão:
Onde
é a constante de integração.