Aplique o método de Le Verrier para determinar o polinômio característico, os valores característicos e os vetores característicos da matriz
Passo 1
E aí! Vamos resolver esse exercício juntos. Precisamos usar o método de Le Verrier para encontrar o polinômio característico, os valores característicos (autovalores) e os vetores característicos (autovetores) da matriz A = -2.5 & -1 & -1.25 -0.5 & -4 & -1.75 1 & 2 & 0.5 . Para isso, vamos precisar entender como o método de Le Verrier funciona na prática e aplicar alguns conceitos de álgebra linear, como traço e determinante de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o polinômio característico de uma matriz A de ordem 3 tem a forma:
P(lambda) = lambda^3 + a lambda^2 + b lambda + c
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes a , b e c usando o método de Le Verrier. Esse método nos ajuda a determinar esses coeficientes sem precisar calcular diretamente o determinante, o que pode ser mais rápido e prático.
Passo 3
O primeiro passo do método de Le Verrier é calcular o traço da matriz A , que é a soma dos elementos da diagonal principal:
O polinômio característico da matriz A é P(lambda) = lambda^3 + 6lambda^2 + 11lambda + 6 . Para encontrar os valores característicos, resolvemos a equação:
lambda^3 + 6lambda^2 + 11lambda + 6 = 0
Fatorando o polinômio:
(lambda + 1)(lambda + 2)(lambda + 3) = 0
Portanto, os valores característicos são lambda1 = -1 , lambda2 = -2 e lambda3 = -3 .
Agora, vamos encontrar os vetores característicos associados a cada valor característico resolvendo (A - lambdai I)v = 0 :