Aplique o método de Le Verrier para determinar o polinômio característico, os valores característicos e os vetores característicos da matriz A=(ccc-2.5 & -1 & -1.25 -0.5 & -4 & -1.75 1 & 2 & 0.5)

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse exercício juntos. Precisamos usar o método de Le Verrier para encontrar o polinômio característico, os valores característicos (autovalores) e os vetores característicos (autovetores) da matriz A = -2.5 & -1 & -1.25 -0.5 & -4 & -1.75 1 & 2 & 0.5 . Para isso, vamos precisar entender como o método de Le Verrier funciona na prática e aplicar alguns conceitos de álgebra linear, como traço e determinante de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o polinômio característico de uma matriz A de ordem 3 tem a forma:
P(lambda) = lambda^3 + a lambda^2 + b lambda + c
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes a , b e c usando o método de Le Verrier. Esse método nos ajuda a determinar esses coeficientes sem precisar calcular diretamente o determinante, o que pode ser mais rápido e prático.

Passo 3

O primeiro passo do método de Le Verrier é calcular o traço da matriz A , que é a soma dos elementos da diagonal principal:
Traço(A) = a11 + a22 + a33 = -2.5 + (-4) + 0.5 = -6 ç
Esse valor nos ajuda a determinar o primeiro coeficiente a do polinômio característico.

Passo 4

Com o traço calculado, o primeiro coeficiente a é igual a menos o traço da matriz:
a = -Traço(A) = -(-6) = 6 ç
Agora nosso polinômio característico está ficando: P(lambda) = lambda^3 + 6lambda^2 + blambda + c .

Passo 5

O próximo passo é encontrar o coeficiente b . Para isso, usamos a seguinte relação do método de Le Verrier:
b = 12 ( (Traço(A))^2 - Traço(A^2) ) çç
Então, precisamos calcular A^2 e depois o traço de A^2 .

Passo 6

Vamos calcular A^2 :
A^2 = A cdot A = -2.5 & -1 & -1.25 -0.5 & -4 & -1.75 1 & 2 & 0.5 cdot -2.5 & -1 & -1.25 -0.5 & -4 & -1.75 1 & 2 & 0.5
Fazendo a multiplicação das matrizes:
A^2 = 5.5 & 4 & 4.25 1.5 & 13 & 6.75 -3 & -8 & -4.5

Passo 7

Agora, vamos calcular o traço de A^2 :
Traço(A^2) = 5.5 + 13 + (-4.5) = 14 ç
Com esse valor, podemos encontrar o coeficiente b :
b = 12 ( (-6)^2 - 14 ) = 12 times (36 - 14) = 12 times 22 = 11
Então, nosso polinômio agora é P(lambda) = lambda^3 + 6lambda^2 + 11lambda + c .

Passo 8

Por fim, vamos determinar o coeficiente c . No método de Le Verrier, para matrizes de ordem 3, temos:
c = -det(A)
Vamos calcular o determinante de A :
det(A) = -2.5 cdot (-4 cdot 0.5 - (-1.75) cdot 2 ) - (-1) cdot (-0.5 cdot 0.5 - (-1.75) cdot 1 ) + (-1.25) cdot (-0.5 cdot 2 - (-4) cdot 1 )
Calculando cada parte:
det(A) = -2.5 cdot ( -2 + 3.5 ) - (-1) cdot ( -0.25 + 1.75 ) + (-1.25) cdot ( -1 + 4 ) = -2.5 cdot 1.5 + 1 cdot 1.5 + (-1.25) cdot 3 = -3.75 + 1.5 - 3.75 = -6
Então,
c = -det(A) = -(-6) = 6
Agora, o polinômio característico completo é:
P(lambda) = lambda^3 + 6lambda^2 + 11lambda + 6

Resposta

O polinômio característico da matriz A é P(lambda) = lambda^3 + 6lambda^2 + 11lambda + 6 . Para encontrar os valores característicos, resolvemos a equação:
lambda^3 + 6lambda^2 + 11lambda + 6 = 0
Fatorando o polinômio:
(lambda + 1)(lambda + 2)(lambda + 3) = 0
Portanto, os valores característicos são lambda1 = -1 , lambda2 = -2 e lambda3 = -3 .
Agora, vamos encontrar os vetores característicos associados a cada valor característico resolvendo (A - lambdai I)v = 0 :
  1. Para lambda1 = -1 :
(A + I)v = -1.5 & -1 & -1.25 -0.5 & -3 & -1.75 1 & 2 & 1.5 v = 0
Resolvendo, obtemos o vetor característico:
v1 = 1 1 1
  1. Para lambda2 = -2 :
(A + 2I)v = -0.5 & -1 & -1.25 -0.5 & -2 & -1.75 1 & 2 & 2.5 v = 0
Resolvendo, obtemos o vetor característico:
v2 = 1 -1 1
  1. Para lambda3 = -3 :
(A + 3I)v = 0.5 & -1 & -1.25 -0.5 & -1 & -1.75 1 & 2 & 3.5 v = 0
Resolvendo, obtemos o vetor característico:
v3 = 1 1 -1
Resumo Final:
  • Polinômio Característico: P(lambda) = lambda^3 + 6lambda^2 + 11lambda + 6
  • Valores Característicos: lambda1 = -1 , lambda2 = -2 , lambda3 = -3
  • Vetores Característicos:
    • Para lambda1 = -1 : v1 = 1 1 1
    • Para lambda2 = -2 : v2 = 1 -1 1
    • Para lambda3 = -3 : v3 = 1 1 -1

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