Encontre o raio espectral de cada matriz e analise se os vetores característicos são ortogonais ou ortonormais, mostre sua resolução em detalhes.
[cc0.8 & 0.6 -0.6 & 0.8]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o raio espectral de uma matriz e verificar se os vetores característicos (ou autovetores) são ortogonais ou ortonormais. O conteúdo que vamos usar aqui envolve álgebra linear, especificamente o cálculo de autovalores e autovetores de uma matriz. Para resolver isso, vamos precisar achar os autovalores da matriz e depois verificar as propriedades dos autovetores associados.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz dada:
A = 0.8 & 0.6 -0.6 & 0.8

Passo 3

O raio espectral de uma matriz é o maior valor absoluto entre os seus autovalores. Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.

Passo 4

Vamos calcular A - lambda I :
A - lambda I = 0.8 - lambda & 0.6 -0.6 & 0.8 - lambda

Passo 5

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (0.8 - lambda)(0.8 - lambda) - (0.6)(-0.6)
= (0.8 - lambda)^2 - (-0.36)
= (0.8 - lambda)^2 + 0.36

Passo 6

Igualamos o determinante a zero para encontrar os valores de lambda :
(0.8 - lambda)^2 + 0.36 = 0
(0.8 - lambda)^2 = -0.36
Aqui observamos que o quadrado de um número real nunca é negativo, o que implica que os autovalores serão números complexos.

Passo 7

Vamos resolver:
(0.8 - lambda)^2 = -0.36
0.8 - lambda = pm raiz-0.36 = pm 0.6i
lambda = 0.8 mp 0.6i
Então, os autovalores são:
lambda1 = 0.8 + 0.6i e lambda2 = 0.8 - 0.6i

Passo 8

Agora, o raio espectral é o maior valor absoluto entre os autovalores. Para números complexos da forma a + bi , o módulo é:
|lambda| = raiza^2 + b^2
Para ambos os autovalores:
|lambda| = raiz0.8^2 + 0.6^2 = raiz0.64 + 0.36 = raiz1 = 1
Então, o raio espectral é 1.

Passo 9

Agora, vamos analisar se os vetores característicos são ortogonais ou ortonormais. Quando temos autovalores complexos, os autovetores associados também serão complexos. Em geral, para matrizes reais com autovalores complexos conjugados, os autovetores não são reais e, portanto, não podem ser ortogonais no sentido tradicional dos vetores reais. Além disso, a ortogonalidade requer que o produto interno entre os vetores seja zero, o que não ocorre nesse caso.

Resposta

O raio espectral da matriz é 1. Os vetores característicos não são ortogonais nem ortonormais.

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