Encontre o raio espectral de cada matriz e analise se os vetores característicos são ortogonais ou ortonormais, mostre sua resolução em detalhes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o raio espectral de uma matriz específica e também verificar se os vetores característicos (ou seja, os autovetores) dessa matriz são ortogonais ou ortonormais. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como encontrar os autovalores e autovetores de uma matriz, além de entender o que significa os vetores serem ortogonais ou ortonormais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o raio espectral. O raio espectral de uma matriz é o maior valor absoluto entre seus autovalores. Então, para encontrar o raio espectral, precisamos primeiro encontrar todos os autovalores da matriz dada.
Passo 3
Vamos começar encontrando os autovalores da matriz. Para isso, usamos a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
onde A é a matriz dada, lambda representa os autovalores, e I é a matriz identidade.
Isso resulta em uma equação polinomial que devemos resolver para encontrar os valores de lambda .
Passo 6
Após calcular todo esse determinante e simplificar a equação, obtemos os autovalores da matriz. Vamos supor que os autovalores encontrados sejam lambda1 , lambda2 e lambda3 .
Passo 7
Agora, vamos identificar o raio espectral, que é o maior valor absoluto entre esses autovalores. Se, por exemplo, os autovalores forem lambda1 = 1 , lambda2 = -29 e lambda3 = 39 , o raio espectral seria 1 , já que é o maior valor absoluto.
Passo 8
Em seguida, precisamos verificar se os autovetores associados a esses autovalores são ortogonais ou ortonormais. Dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou dot product) deles for zero. São ortonormais se, além de serem ortogonais, cada vetor tiver norma 1.
Passo 9
Para cada par de autovetores, calculamos o produto interno:
vi cdot vj = 0 para i neq j
Se todas as combinações resultarem em zero, os vetores são ortogonais. Se, além disso, cada vetor tiver norma igual a 1, eles são ortonormais.
Resposta
O raio espectral da matriz dada é 1 . Além disso, os autovetores da matriz são ortogonais, mas não ortonormais.