Dada a matriz: . (a) compute seus valores característicos; (b) compute o conjunto de vetores característicos de A e de A^top, verifique que estes dois conjuntos são mutuamente ortogonais;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente tem uma matriz A e precisamos fazer duas coisas: primeiro, encontrar os valores característicos dela (que também são chamados de autovalores ou eigenvalores), e depois encontrar os vetores característicos (autovetores) de A e da sua transposta A^top . Além disso, vamos verificar se esses conjuntos de vetores são mutuamente ortogonais. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes, determinantes e propriedades de autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são valores característicos. Os valores característicos de uma matriz A são os valores lambda que satisfazem a equação det(A - lambda I) = 0 , onde I é a matriz identidade. Esses valores são importantes porque nos dizem informações sobre as propriedades da matriz, como sua invertibilidade e comportamento em transformações lineares.
Passo 3
Vamos calcular o determinante de A - lambda I . A matriz A - lambda I fica assim:
Vamos resolver essa equação cúbica. Procuramos por raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. As possíveis raízes são divisores de 6 sobre 1, ou seja, lambda = pm1, pm2, pm3, pm6 .
Agora, vamos encontrar os vetores característicos de [A) para cada valor de . Isso significa resolver para cada .
Comecemos com :
Montamos o sistema:
Da segunda equação: (v_1 + v_3 =0 \implies v_1 = -v_3]
Substituindo na primeira equação:
Então, temos:
Vamos definir , então:
Portanto, o vetor característico para é:
Passo 9
Agora, para [\lambda=3):
Montamos o sistema:
Da segunda equação: (v_1 = 2v_2 - v_3]
Substituindo na primeira equação:
Então,
Portanto, definindo :
Então, o vetor característico para é:
Passo 10
Por último, para [\lambda=-2):
Montamos o sistema:
Das equações 2 e 3, temos a mesma equação: (v_1 +3v_2 +v_3=0]
Vamos resolver usando a segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,
Definindo :
Portanto, o vetor característico para é:
Passo 11
Agora, temos os conjuntos de vetores característicos de A :
v1, v2, v3 = -1 1 1 , 1 1 1 , 11 1 -14
Agora, vamos encontrar os vetores característicos de A^top . A transposta de A é:
A^top = 2 &1 &1 -2 &1 &3 3 &1 &-1
Os valores característicos de A^top são os mesmos de A , ou seja, lambda=1,3,-2 . Agora, vamos encontrar os vetores característicos de A^top da mesma forma.
Passo 12
Para [\lambda=1):
Montamos o sistema:
Da primeira equação: (v_1 = -v_2 -v_3]
Substituindo na segunda equação:
Então,
Definindo :
Portanto, o vetor característico para em é:
Passo 13
Para [\lambda=3):
Montamos o sistema:
Da primeira equação: (-v_1 +v_2 +v_3=0 \implies v_1 =v_2 +v_3]
Substituindo na segunda equação:
Então,
Definindo :
Portanto, o vetor característico para em é:
Passo 14
Por último, para [\lambda=-2):
Montamos o sistema:
Vamos trabalhar com a primeira e terceira equações:
Da primeira: (4v_1 +v_2 +v_3=0]
Da terceira:
Subtraindo a terceira da primeira:
Então, da primeira equação:
Da segunda equação:
Então, temos
Definindo :
Portanto, o vetor característico para em é:
Passo 15
Agora, temos os conjuntos de vetores característicos de A^top :
w1, w2, w3 = 3 -5 2 , 5 1 4 , 0 1 -1
Passo 16
Agora, precisamos verificar se os conjuntos de vetores de A e A^top são mutuamente ortogonais. Isso significa que todo vetor de A é ortogonal a todo vetor de A^top .
Para verificar a ortogonalidade, calculamos o produto escalar (dot product) entre cada par de vetores:
Parece que houve um erro na interpretação. Na verdade, para que os conjuntos sejam mutuamente ortogonais, os vetores característicos de A devem ser ortogonais entre si, e o mesmo para A^top , não necessariamente entre A e A^top .
Vamos verificar a ortogonalidade dentro de cada conjunto.
Passo 17
Verificando a ortogonalidade entre os vetores de A :
Também os vetores de A^top não são ortogonais entre si.
Passo 18
Parece que houve um mal-entendido no enunciado ou na interpretação. Os conjuntos de vetores característicos de A e A^top não são mutuamente ortogonais nos exemplos que calculamos. Talvez o exercício se referia à ortogonalidade entre os espaços próprios ou a alguma outra propriedade específica. Seria bom revisar o enunciado ou verificar as hipóteses para garantir a correta interpretação.
Resposta
Os valores característicos da matriz A são lambda1=1 , lambda2=3 e lambda3=-2 . Os vetores característicos de A são:
v1 = -1 1 1 , v2 = 1 1 1 , v3 = 11 1 -14
Os vetores característicos de A^top são:
w1 = 3 -5 2 , w2 = 5 1 4 , w3 = 0 1 -1
Entretanto, ao verificar a ortogonalidade entre esses conjuntos de vetores, observamos que eles não são mutuamente ortogonais.