Dada a matriz: A=(ccc2 & -2 & 3 1 & 1 & 1 1 & 3 & -1). (a) compute seus valores característicos; (b) compute o conjunto de vetores característicos de A e de A^top, verifique que estes dois conjuntos são mutuamente ortogonais;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente tem uma matriz A e precisamos fazer duas coisas: primeiro, encontrar os valores característicos dela (que também são chamados de autovalores ou eigenvalores), e depois encontrar os vetores característicos (autovetores) de A e da sua transposta A^top . Além disso, vamos verificar se esses conjuntos de vetores são mutuamente ortogonais. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes, determinantes e propriedades de autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são valores característicos. Os valores característicos de uma matriz A são os valores lambda que satisfazem a equação det(A - lambda I) = 0 , onde I é a matriz identidade. Esses valores são importantes porque nos dizem informações sobre as propriedades da matriz, como sua invertibilidade e comportamento em transformações lineares.

Passo 3

Vamos calcular o determinante de A - lambda I . A matriz A - lambda I fica assim:
A - lambda I = 2 - lambda & -2 & 3 1 & 1 - lambda & 1 1 & 3 & -1 - lambda
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)[(1 - lambda)(-1 - lambda) - (1)(3)] - (-2)[1(-1 - lambda) - 1(1)] + 3[1(3) - (1 - lambda)(1)]

Passo 4

Vamos resolver cada termo separadamente:
  1. Primeiro termo:
(2 - lambda)[(1 - lambda)(-1 - lambda) - 3]
= (2 - lambda)[(-1 - lambda)(1 - lambda) - 3]
= (2 - lambda)[-1 + lambda - lambda + lambda^2 - 3]
= (2 - lambda)(lambda^2 -4)
  1. Segundo termo:
- (-2)[1(-1 - lambda) - 1(1)] = 2[-1 - lambda -1] = 2(-2 - lambda) = -4 - 2lambda
  1. Terceiro termo:
3[3 - (1 - lambda)] = 3[3 -1 + lambda] =3(2 + lambda)=6 +3lambda

Passo 5

Agora, somamos todos os termos:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(lambda^2 -4) -4 -2lambda +6 +3lambda
= (2 - lambda)(lambda^2 -4) + ( -4 +6 ) + (-2lambda +3lambda)
= (2 - lambda)(lambda^2 -4) + 2 + lambda
Agora, multiplicamos (2 - lambda)(lambda^2 -4) :
2lambda^2 -8 -lambda^3 +4lambda
Então:
det(A - lambda I) = -lambda^3 +2lambda^2 +4lambda -8 +2 +lambda = -lambda^3 +2lambda^2 +5lambda -6

Passo 6

Agora, igualamos o determinante a zero para encontrar os valores característicos:
-lambda^3 +2lambda^2 +5lambda -6 =0 implies lambda^3 -2lambda^2 -5lambda +6=0
Vamos resolver essa equação cúbica. Procuramos por raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. As possíveis raízes são divisores de 6 sobre 1, ou seja, lambda = pm1, pm2, pm3, pm6 .
Testando lambda =1 :
1 -2 -5 +6=0 implies lambda=1 é raiz é
Então, fatoramos (lambda -1) da equação:
Usando divisão polinomial ou sintética, obtemos:
lambda^3 -2lambda^2 -5lambda +6 = (lambda -1)(lambda^2 -lambda -6) =0
Agora, resolvemos lambda^2 -lambda -6 =0 :
lambda = 1 pm raiz1 +242 = 1 pm52 implies lambda=3 ou lambda=-2

Passo 7

Então, os valores característicos são:
lambda1 =1, lambda2=3, lambda3=-2

Passo 8

Agora, vamos encontrar os vetores característicos de [A) para cada valor de . Isso significa resolver para cada .
Comecemos com :
Montamos o sistema:
Da segunda equação: (v_1 + v_3 =0 \implies v_1 = -v_3]
Substituindo na primeira equação:
Então, temos:
Vamos definir , então:
Portanto, o vetor característico para é:

Passo 9

Agora, para [\lambda=3):
Montamos o sistema:
Da segunda equação: (v_1 = 2v_2 - v_3]
Substituindo na primeira equação:
Então,
Portanto, definindo :
Então, o vetor característico para é:

Passo 10

Por último, para [\lambda=-2):
Montamos o sistema:
Das equações 2 e 3, temos a mesma equação: (v_1 +3v_2 +v_3=0]
Vamos resolver usando a segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,
Definindo :
Portanto, o vetor característico para é:

Passo 11

Agora, temos os conjuntos de vetores característicos de A :
v1, v2, v3 = -1 1 1 , 1 1 1 , 11 1 -14
Agora, vamos encontrar os vetores característicos de A^top . A transposta de A é:
A^top = 2 &1 &1 -2 &1 &3 3 &1 &-1
Os valores característicos de A^top são os mesmos de A , ou seja, lambda=1,3,-2 . Agora, vamos encontrar os vetores característicos de A^top da mesma forma.

Passo 12

Para [\lambda=1):
Montamos o sistema:
Da primeira equação: (v_1 = -v_2 -v_3]
Substituindo na segunda equação:
Então,
Definindo :
Portanto, o vetor característico para em é:

Passo 13

Para [\lambda=3):
Montamos o sistema:
Da primeira equação: (-v_1 +v_2 +v_3=0 \implies v_1 =v_2 +v_3]
Substituindo na segunda equação:
Então,
Definindo :
Portanto, o vetor característico para em é:

Passo 14

Por último, para [\lambda=-2):
Montamos o sistema:
Vamos trabalhar com a primeira e terceira equações:
Da primeira: (4v_1 +v_2 +v_3=0]
Da terceira:
Subtraindo a terceira da primeira:
Então, da primeira equação:
Da segunda equação:
Então, temos
Definindo :
Portanto, o vetor característico para em é:

Passo 15

Agora, temos os conjuntos de vetores característicos de A^top :
w1, w2, w3 = 3 -5 2 , 5 1 4 , 0 1 -1

Passo 16

Agora, precisamos verificar se os conjuntos de vetores de A e A^top são mutuamente ortogonais. Isso significa que todo vetor de A é ortogonal a todo vetor de A^top .
Para verificar a ortogonalidade, calculamos o produto escalar (dot product) entre cada par de vetores:
vi cdot wj =0 para todo i,j
Vamos calcular alguns exemplos:
  1. v1 cdot w1 = (-1)(3) + (1)(-5) + (1)(2) = -3 -5 +2 = -6 neq0
Parece que houve um erro na interpretação. Na verdade, para que os conjuntos sejam mutuamente ortogonais, os vetores característicos de A devem ser ortogonais entre si, e o mesmo para A^top , não necessariamente entre A e A^top .
Vamos verificar a ortogonalidade dentro de cada conjunto.

Passo 17

Verificando a ortogonalidade entre os vetores de A :
v1 cdot v2 = (-1)(1) + (1)(1) + (1)(1) = -1 +1 +1=1 neq0
v1 cdot v3 = (-1)(11) + (1)(1) + (1)(-14) = -11 +1 -14=-24 neq0
v2 cdot v3 = (1)(11) + (1)(1) + (1)(-14) =11 +1 -14=-2 neq0
Os vetores de A não são ortogonais entre si.
Agora, verificando os vetores de A^top :
w1 cdot w2 = (3)(5) + (-5)(1) + (2)(4) =15 -5 +8=18 neq0
w1 cdot w3 = (3)(0) + (-5)(1) + (2)(-1) =0 -5 -2=-7 neq0
w2 cdot w3 = (5)(0) + (1)(1) + (4)(-1) =0 +1 -4=-3 neq0
Também os vetores de A^top não são ortogonais entre si.

Passo 18

Parece que houve um mal-entendido no enunciado ou na interpretação. Os conjuntos de vetores característicos de A e A^top não são mutuamente ortogonais nos exemplos que calculamos. Talvez o exercício se referia à ortogonalidade entre os espaços próprios ou a alguma outra propriedade específica. Seria bom revisar o enunciado ou verificar as hipóteses para garantir a correta interpretação.

Resposta

Os valores característicos da matriz A são lambda1=1 , lambda2=3 e lambda3=-2 . Os vetores característicos de A são:
v1 = -1 1 1 , v2 = 1 1 1 , v3 = 11 1 -14
Os vetores característicos de A^top são:
w1 = 3 -5 2 , w2 = 5 1 4 , w3 = 0 1 -1
Entretanto, ao verificar a ortogonalidade entre esses conjuntos de vetores, observamos que eles não são mutuamente ortogonais.

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