Determine se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se for falsa dê um contraexemplo ou mostre que é falsa. Se for verdadeira, justifique.
Existe alguma transformação linear T: P4(R) P4(R) tal que o núcleo de T seja isomorfo à imagem de T.

Passo 1

O enunciado pergunta se existe uma transformação linear
T: P4(R) to P4(R)
tal que o núcleo de T seja isomorfo à imagem de T. Aqui o espaço P4(R) tem dimensão 5 (base 1,x,x^2,x^3,x^4).

Passo 2

Se dois espaços vetoriais de dimensão finita são isomorfos, então têm a mesma dimensão. Logo, se quisermos
ker(T)simeqIm(T),
precisamos de
dimker(T)=dimIm(T)=kpara algum inteiro k

Passo 3

Pelo Teorema da Dimensão (posto–nulo) temos
dimker(T)+dimIm(T)=dim P4(R)=5
Se dimker(T)=dimIm(T)=k, então
2k=5,
o que não admite solução inteira. Portanto não existe kinZ satisfazendo essa igualdade, e logo nenhum T pode ter ker(T)simeqIm(T).

Resposta

A afirmação é falsa.

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