Determine se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se for falsa dê um contraexemplo ou mostre que é falsa. Se for verdadeira, justifique.
Existe alguma transformação linear
tal que o núcleo de
seja isomorfo à imagem de
.
Existe alguma transformação linear
Passo 1
O enunciado pergunta se existe uma transformação linear
tal que o núcleo de
seja isomorfo à imagem de
. Aqui o espaço
tem dimensão
(base
).
Passo 2
Se dois espaços vetoriais de dimensão finita são isomorfos, então têm a mesma dimensão. Logo, se quisermos
precisamos de
Passo 3
Pelo Teorema da Dimensão (posto–nulo) temos
Se
, então
o que não admite solução inteira. Portanto não existe
satisfazendo essa igualdade, e logo nenhum
pode ter
.
Resposta
A afirmação é falsa.