Aplique o método de Newton-Raphson para determinar a raiz aproximada da equação senh(x)+5=0, considerando I=[-4,-2] e varepsilon=10^-3. Use as definiçōes do método para especificar o chute inicial que irá garantir a convergência.

Passo 1

Então, vamos resolver o exercício que pede para a gente usar o Método de Newton-Raphson para encontrar uma raiz aproximada da equação sinh(x) + 5 = 0 . A gente vai trabalhar no intervalo [-4, -2] e queremos que a nossa aproximação tenha uma precisão de varepsilon = 10^-3 . Para isso, precisamos entender um pouco sobre o Método de Newton-Raphson e como escolher o chute inicial que vai garantir que a gente chegue na solução certinha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Método de Newton-Raphson. É um método iterativo para encontrar as raízes de uma função. A ideia é começar com um chute inicial x0 e, usando a fórmula:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
a gente vai refinando esse chute até chegar perto o suficiente da raiz, ou seja, até que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor que a tolerância varepsilon .
No nosso caso, a função é f(x) = sinh(x) + 5 . Primeiro, precisamos calcular a derivada dessa função:
f'(x) = cosh(x)
Agora, vamos escolher um chute inicial x0 no intervalo [-4, -2]. Para garantir a convergência do método, é bom escolher um ponto onde a função muda de sinal, ou seja, onde f(a) e f(b) têm sinais opostos. Vamos verificar isso:
f(-4) = sinh(-4) + 5 approx -27.2899 + 5 = -22.2899
f(-2) = sinh(-2) + 5 approx -3.6269 + 5 = 1.3731
Como f(-4) < 0 e f(-2) > 0 , sabemos que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. Vamos escolher x0 = -3 como nosso chute inicial.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula do Método de Newton-Raphson:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Começando com x0 = -3 :
  1. Primeira iteração ( n = 0 ):
f(-3) = sinh(-3) + 5 approx -10.0179 + 5 = -5.0179
f'(-3) = cosh(-3) approx 10.0677
x1 = -3 - -5.017910.0677 approx -3 + 0.4984 = -2.5016
  1. Segunda iteração ( n = 1 ):
f(-2.5016) = sinh(-2.5016) + 5 approx -6.0211 + 5 = -1.0211
f'(-2.5016) = cosh(-2.5016) approx 6.0867
x2 = -2.5016 - -1.02116.0867 approx -2.5016 + 0.1676 = -2.3340
  1. Terceira iteração ( n = 2 ):
f(-2.3340) = sinh(-2.3340) + 5 approx -5.0374 + 5 = -0.0374
f'(-2.3340) = cosh(-2.3340) approx 5.0644
x3 = -2.3340 - -0.03745.0644 approx -2.3340 + 0.0074 = -2.3266
  1. Quarta iteração ( n = 3 ):
f(-2.3266) = sinh(-2.3266) + 5 approx -5.0024 + 5 = -0.0024
f'(-2.3266) = cosh(-2.3266) approx 5.0212
x4 = -2.3266 - -0.00245.0212 approx -2.3266 + 0.0005 = -2.3261
  1. Quinta iteração ( n = 4 ):
f(-2.3261) = sinh(-2.3261) + 5 approx -5.0002 + 5 = -0.0002
f'(-2.3261) = cosh(-2.3261) approx 5.0001
x5 = -2.3261 - -0.00025.0001 approx -2.3261 + 0.0000 = -2.3261
A diferença entre x5 e x4 é menor que varepsilon = 10^-3 , então podemos parar as iterações.

Resposta

A raiz aproximada da equação sinh(x) + 5 = 0 no intervalo [-4, -2] utilizando o Método de Newton-Raphson é x approx -2.3261 .

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