Aplique o método de Newton-Raphson para determinar a raiz aproximada da equação
, considerando
e
. Use as definiçōes do método para especificar o chute inicial que irá garantir a convergência.
Passo 1
Então, vamos resolver o exercício que pede para a gente usar o Método de Newton-Raphson para encontrar uma raiz aproximada da equação
. A gente vai trabalhar no intervalo
e queremos que a nossa aproximação tenha uma precisão de
. Para isso, precisamos entender um pouco sobre o Método de Newton-Raphson e como escolher o chute inicial que vai garantir que a gente chegue na solução certinha.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Método de Newton-Raphson. É um método iterativo para encontrar as raízes de uma função. A ideia é começar com um chute inicial
e, usando a fórmula:
a gente vai refinando esse chute até chegar perto o suficiente da raiz, ou seja, até que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor que a tolerância
.
No nosso caso, a função é
. Primeiro, precisamos calcular a derivada dessa função:
Agora, vamos escolher um chute inicial
no intervalo
. Para garantir a convergência do método, é bom escolher um ponto onde a função muda de sinal, ou seja, onde
e
têm sinais opostos. Vamos verificar isso:
Como
e
, sabemos que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. Vamos escolher
como nosso chute inicial.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a fórmula do Método de Newton-Raphson:
Começando com
:
- Primeira iteração (
):
- Segunda iteração (
):
- Terceira iteração (
):
- Quarta iteração (
):
- Quinta iteração (
):
A diferença entre
e
é menor que
, então podemos parar as iterações.
Resposta
A raiz aproximada da equação
no intervalo
utilizando o Método de Newton-Raphson é
.