Encontre a área da região limitada pelas curvas. Faça o esboço das curvas e mostre um retângulo elementar:
y=2 x^2-4 x+16, y=-x^2+2 x+1 e pelas retas x=1 e x=2 R=13.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
y1 = 2x^2 - 4x + 16,
y2 = -x^2 + 2x + 1
e pelas retas verticais x=1 e x=2.
O conteúdo é cálculo de área por integração de “fatias verticais”. Vamos fazer um esboço qualitativo das curvas e depois montar a integral.

Passo 2

Para decidir qual curva está em cima no intervalo [1,2], comparamos y1 e y2.
No geral y1 é uma parábola voltada para cima e y2 voltada para baixo. Num esboço rápido vemos que entre x=1 e x=2 vale
y1(x)>y2(x)
Logo a “altura” de cada fatia vertical é
y1(x)-y2(x)

Passo 3

Um retângulo elementar em x tem largura dx e altura
De<a y = y1(x)-y2(x)
Assim o elemento de área é
dA = l(y1(x)-y2(x)r),dx,
e a área total é
A = integralx=1^2 l(y1(x)-y2(x)r),dx

Passo 4

Calculamos o integrando:
y1(x)-y2(x) = l(2x^2-4x+16r)-l(-x^2+2x+1r) =3x^2 -6x +15
Logo
A = integral1^2 l(3x^2 -6x +15r),dx

Passo 5

Encontramos a antiderivada:
integral l(3x^2 -6x +15r),dx = x^3 -3x^2 +15x + C
A = l[x^3 -3x^2 +15xr]1^2 = l(8 -12 +30r) - l(1 -3 +15r) =26 -13 =13

Resposta

13

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