Aplique o método de Newton-Raphson à função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\sin (\mathrm{x})-0.5 \mathrm{x} no intervalo [1,2], com \mathrm{x}_{0}=1.5 e precisão de 10^{-4}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a raiz de f(x)=\sin(x)-0.5\,x
no intervalo [1,2] usando o método de Newton–Raphson, com chute inicial x_0=1.5 e precisão \displaystyle10^{-4}. Para isso vamos precisar de f'(x) e da fórmula iterativa de Newton–Raphson.

Passo 2

A derivada de f(x) é
f'(x)=\cos(x)-0.5
e a iteração de Newton–Raphson é dada por
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.

Passo 3

Iniciando em x_0=1.5:
f(1.5)=\sin(1.5)-0.5\cdot1.5=0.997495-0.75=0.247495,\quad f'(1.5)=\cos(1.5)-0.5=0.070737-0.5=-0.429263
x_1=1.5-\frac{0.247495}{-0.429263}\approx2.0768
Em x_1\approx2.0768:
f(2.0768)=\sin(2.0768)-0.5\cdot2.0768\approx0.876432-1.038400=-0.161968,\quad f'(2.0768)=\cos(2.0768)-0.5\approx-0.481098-0.5=-0.981098
x_2=2.0768-\frac{-0.161968}{-0.981098}\approx1.91164

Passo 4

Em x_2\approx1.91164:
f(1.91164)=\sin(1.91164)-0.5\cdot1.91164\approx0.941882-0.955820=-0.013938,\quad f'(1.91164)=\cos(1.91164)-0.5\approx-0.336285-0.5=-0.836285
x_3=1.91164-\frac{-0.013938}{-0.836285}\approx1.89497
Em x_3\approx1.89497:
f(1.89497)=\sin(1.89497)-0.5\cdot1.89497\approx0.947815-0.947485=0.000330,\quad f'(1.89497)=\cos(1.89497)-0.5\approx-0.318064-0.5=-0.818064
x_4=1.89497-\frac{0.000330}{-0.818064}\approx1.89538

Passo 5

Em x_4\approx1.89538:
f(1.89538)=\sin(1.89538)-0.5\cdot1.89538\approx0.947583-0.947690=-0.000107,\quad f'(1.89538)=\cos(1.89538)-0.5\approx-0.318434-0.5=-0.818434
x_5=1.89538-\frac{-0.000107}{-0.818434}\approx1.89525,\quad |x_5-x_4|\approx1.3\times10^{-4}>10^{-4}
Em x_5\approx1.89525:
f(1.89525)\approx2.7\times10^{-5},\quad f'(1.89525)=\cos(1.89525)-0.5\approx-0.818346
x_6=1.89525-\frac{2.7\times10^{-5}}{-0.818346}\approx1.89522,\quad |x_6-x_5|\approx3.3\times10^{-5}<10^{-4}
Como a diferença |x_6-x_5| já é menor que a precisão exigida, paramos a iteração.

Resposta

A raiz aproximada é x\approx1.8952 com precisão 10^{-4}.

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