Com o método da Secante, encontre uma raiz da função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{\wedge} 2-\cos (\mathrm{x}), usando \mathrm{x}_{0}= 0.5 e \mathrm{x}_{1}=1.0, com precisão de 10^{-4}.

Passo 1

Resumindo o enunciado, queremos aproximar uma raiz de
f(x)=x^2-\cos(x)
usando o método da secante com pontos iniciais x_0=0,5 e x_1=1,0, até que a diferença entre duas iterações sucessivas seja menor que 10^{-4}. O método da secante gera a sequência
x_{n+1} = x_n - f(x_n)\,\frac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}
sem precisar de derivada, apenas avaliando f em dois pontos.

Passo 2

Calculamos primeiro
f(x_0)=f(0,5)=0,5^2-\cos(0,5)=0,25-\cos(0,5)\approx -0,62758,
f(x_1)=f(1,0)=1^2-\cos(1)=1-\cos(1)\approx 0,45970.
E usamos a fórmula da secante para achar
x_2 = 1,0 - 0,45970\;\frac{1,0-0,5}{0,45970-(-0,62758)} \approx0,78862.

Passo 3

Avaliamos
f(x_2)=x_2^2-\cos(x_2)\approx0,78862^2-\cos(0,78862)\approx -0,08115.
Aplicando a fórmula novamente,
x_3 = 0,78862 - (-0,08115)\;\frac{0,78862-1,0}{-0,08115-0,45970} \approx0,82034.

Passo 4

Continuando as iterações: n=3 \to f(x_3)\approx0,82034^2-\cos(0,82034)\approx -0,00761,
x_4 = 0,82034 - (-0,00761)\;\frac{0,82034-0,78862}{-0,00761-(-0,08115)} \approx0,82363,
f(x_4)\approx0,82363^2-\cos(0,82363)\approx -0,00121.

Passo 5

Mais duas iterações: n=4 \to x_5 = 0,82363 - (-0,00121)\;\frac{0,82363-0,82034}{-0,00121-(-0,00761)} \approx0,82425,
f(x_5)\approx 0,00033. n=5 \to x_6 = 0,82425 - 0,00033\;\frac{0,82425-0,82363}{0,00033-(-0,00121)} \approx0,82412,
f(x_6)\approx8{,}9\times10^{-5}.
A diferença \bigl|x_6-x_5\bigr|\approx4{,}9\times10^{-5}<10^{-4}, então paramos.

Resposta

A raiz aproximada é x\approx0,82412.

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