1- Aplique o método de Newton-Raphson, método da bisseção e método das substituições sucessivas na determinação da raiz real positiva da função com 6 algarismo significativos corretos:
no intervalor [0,1]. Explique porque não é conveniente utilizar como condição inicial
para o método de Newton-Raphson.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a raiz real positiva da função
no intervalo [0,1] usando três métodos diferentes: Newton-Raphson, Bisseção e Substituições Sucessivas. Além disso, vamos explicar por que não é uma boa ideia começar o método de Newton-Raphson com
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre cada método e como aplicá-los passo a passo.
Passo 2
Vamos começar pelo Método da Bisseção. Esse método é bem intuitivo e funciona dividindo o intervalo [a, b] em duas partes iguais e escolhendo a subparte onde a função muda de sinal, ou seja, onde
ou
, sendo
o ponto médio.
Primeiro, verificamos os sinais de
e
:
Como
e
, sabemos que existe uma raiz no intervalo [0,1]. Agora, a gente vai dividir o intervalo e verificar onde a função muda de sinal até encontrar a raiz com a precisão de 6 algarismos significativos.
Vamos fazer as iterações necessárias até alcançar a precisão desejada.
Passo 3
Agora vamos para o Método de Newton-Raphson. Esse método usa uma fórmula iterativa baseada na derivada da função para convergir rapidamente para a raiz. A fórmula é:
Primeiro, precisamos calcular a derivada de
:
Antes de começar as iterações, é importante escolher um bom valor inicial
. No entanto, escolher
não é aconselhável aqui porque a derivada
envolve
, que é indefinido (infinito). Isso causaria problemas na fórmula de Newton-Raphson, já que não podemos dividir por infinito. Por isso, precisamos escolher outro valor inicial dentro do intervalo [0,1], por exemplo,
.
Vamos aplicar a fórmula iterativamente até alcançar a precisão de 6 algarismos.
Passo 4
Agora, vamos ao Método das Substituições Sucessivas. Esse método envolve reescrever a equação
na forma
e iterar
até a convergência.
Primeiro, reescrevemos a equação
para isolar
:
Agora, escolhemos um valor inicial, por exemplo,
, e aplicamos a iteração
até que a diferença entre
e
seja menor que
.
Resposta
Após aplicar os três métodos com os devidos cálculos e iterações, a raiz real positiva da função
no intervalo [0,1] é aproximadamente: