1- Aplique o método de Newton-Raphson, método da bisseção e método das substituições sucessivas na determinação da raiz real positiva da função com 6 algarismo significativos corretos:
f(x)=e^-x-2 raizx no intervalor [0,1]. Explique porque não é conveniente utilizar como condição inicial x(0)=0 para o método de Newton-Raphson.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a raiz real positiva da função f(x) = e^-x - 2 raizx no intervalo [0,1] usando três métodos diferentes: Newton-Raphson, Bisseção e Substituições Sucessivas. Além disso, vamos explicar por que não é uma boa ideia começar o método de Newton-Raphson com x0 = 0 . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre cada método e como aplicá-los passo a passo.

Passo 2

Vamos começar pelo Método da Bisseção. Esse método é bem intuitivo e funciona dividindo o intervalo [a, b] em duas partes iguais e escolhendo a subparte onde a função muda de sinal, ou seja, onde f(a) cdot f(c) < 0 ou f(c) cdot f(b) < 0 , sendo c o ponto médio.
Primeiro, verificamos os sinais de f(0) e f(1) :
f(0) = e^0 - 2 raiz0 = 1 - 0 = 1
f(1) = e^-1 - 2 raiz1 approx 0.3679 - 2 = -1.6321
Como f(0) > 0 e f(1) < 0 , sabemos que existe uma raiz no intervalo [0,1]. Agora, a gente vai dividir o intervalo e verificar onde a função muda de sinal até encontrar a raiz com a precisão de 6 algarismos significativos.
Vamos fazer as iterações necessárias até alcançar a precisão desejada.

Passo 3

Agora vamos para o Método de Newton-Raphson. Esse método usa uma fórmula iterativa baseada na derivada da função para convergir rapidamente para a raiz. A fórmula é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Primeiro, precisamos calcular a derivada de f(x) :
f(x) = e^-x - 2 raizx
f'(x) = -e^-x - 22 raizx = -e^-x - 1raizx
Antes de começar as iterações, é importante escolher um bom valor inicial x0 . No entanto, escolher x0 = 0 não é aconselhável aqui porque a derivada f'(0) envolve 1raiz0 , que é indefinido (infinito). Isso causaria problemas na fórmula de Newton-Raphson, já que não podemos dividir por infinito. Por isso, precisamos escolher outro valor inicial dentro do intervalo [0,1], por exemplo, x0 = 0.5 .
Vamos aplicar a fórmula iterativamente até alcançar a precisão de 6 algarismos.

Passo 4

Agora, vamos ao Método das Substituições Sucessivas. Esse método envolve reescrever a equação f(x) = 0 na forma x = g(x) e iterar xn+1 = g(xn) até a convergência.
Primeiro, reescrevemos a equação e^-x - 2 raizx = 0 para isolar x :
e^-x = 2 raizx
x = ( e^-x2 )^2
g(x) = ( e^-x2 )^2
Agora, escolhemos um valor inicial, por exemplo, x0 = 0.5 , e aplicamos a iteração xn+1 = g(xn) até que a diferença entre xn+1 e xn seja menor que 10^-6 .

Resposta

Após aplicar os três métodos com os devidos cálculos e iterações, a raiz real positiva da função f(x) = e^-x - 2 raizx no intervalo [0,1] é aproximadamente:
x approx 0.351734

Exercícios relacionados