Determinar a distância do ponto a reta:
ponto (2,2,2) à reta
r:l x=2 t+1 y=3 t+2 z=5 t+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente precisa achar a distância do ponto P(2,2,2) até a reta r definida pelas equações paramétricas:
x = 2t + 1 y = 3t + 2 z = 5t + 1
Para isso, vamos usar vetores e um pouco de álgebra vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar um ponto qualquer que esteja na reta r . Observando as equações, quando t = 0 , temos o ponto A(1, 2, 1) . Esse será o nosso ponto de referência na reta.

Passo 3

Agora, vamos determinar o vetor diretor da reta r . Esse vetor indica a direção na qual a reta está alinhada e é dado pelos coeficientes de t nas equações paramétricas:
v = lang<= 2, 3, 5 rang<=

Passo 4

Em seguida, vamos formar o vetor AP, que vai do ponto A até o ponto P :
AP = P - A = lang<= 2-1, 2-2, 2-1 rang<= = lang<= 1, 0, 1 rang<=

Passo 5

Para encontrar a distância, usamos a fórmula que envolve o produto vetorial:
d = |AP times v||v|
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial AP times v :
AP times v = i & j & k 1 & 0 & 1 2 & 3 & 5 = i(0 cdot 5 - 1 cdot 3) - j(1 cdot 5 - 1 cdot 2) + k(1 cdot 3 - 0 cdot 2)
= lang<= -3, 3, 3 rang<=
Agora, calculamos a magnitude desse vetor:
|AP times v| = raiz(-3)^2 + 3^2 + 3^2 = raiz9 + 9 + 9 = raiz27 = 3raiz3
Também precisamos da magnitude do vetor diretor v :
|v| = raiz2^2 + 3^2 + 5^2 = raiz4 + 9 + 25 = raiz38

Resposta

Portanto, a distância do ponto P(2,2,2) à reta r é:
d = 3raiz3raiz38 approx 0,844

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