b) Prove que a distância entre dois planos paralelos cujas equações são A x+B y+ C z+D=0 e A x+B y+C z+D^prime=0 é:
|D-D^prime|raizA^2+B^2+C^2

Passo 1

O enunciado pede a distância entre dois planos paralelos
P:;A x+B y+C z+D=0
e
P':;A x+B y+C z+D'=0
O conteúdo aqui é geometria analítica: vamos usar a definição de vetor normal a um plano n=(A,B,C) e a fórmula da distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Para aplicar a fórmula da distância de ponto a plano, escolhemos um ponto P0=(x0,y0,z0) que esteja em P. Como A^2+B^2+C^2neq0, pelo menos um dos coeficientes A,B,C é não nulo. Supondo, sem perda de generalidade, que Cneq0, tomamos
x0=0, y0=0, z0=-DC,
pois então
Acdot0 + Bcdot0 + Cl(-DCr) + D = -D + D = 0,
ou seja, P0in P.

Passo 3

A distância de P0 ao plano P' é dada por
d = l|A x0 + B y0 + C z0 + D'r|raizA^2 + B^2 + C^2
Substituindo x0=0, y0=0 e z0=-D/C, obtemos
A x0 + B y0 + C z0 + D' = Cl(-DCr) + D' = -D + D' = D' - D

Passo 4

Portanto
d = l|D' - Dr|raizA^2 + B^2 + C^2 = l|D - D'r|raizA^2 + B^2 + C^2

Resposta

l|D - D'r|raizA^2 + B^2 + C^2

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