Decida quais dos subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de R^2.
(x, y) in R^2 ; x y=0, x, y in R

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = (x,y)inR^2 mid x,y = 0
é um subespaço vetorial de R^2.
Para isso vamos usar o teste de subespaço, isto é, checar se
  1. 0=(0,0)in S,
  2. u,vin Simplies u+vin S,
  3. uin S,;lambdainRimplies lambda uin S.

Passo 2

Verificamos o vetor zero:
(0,0)in Spois 0cdot0 = 0
Logo, o conjunto não é vazio e contém o vetor zero.

Passo 3

Testamos a clausura por soma. Tomemos
u = (1,0)in S, v = (0,1)in S,
já que 1cdot0=0 e 0cdot1=0. Então
u+v = (1,0)+(0,1) = (1,1)
Porém
1cdot1 = 1 neq 0,
logo (1,1)notin S. Isso mostra que u+vnotin S.

Passo 4

Como não há fechamento sob adição, S falha no teste de subespaço vetorial. Não precisamos nem checar multiplicação escalar.

Resposta

O conjunto (x,y)inR^2 mid x,y=0 não é subespaço vetorial de R^2.

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