Determine os valores de a e b de modo que os planos x+2 y+z=b e 3 x-5 y+3 z=1 e 2 x+7 y+a z=8 se interceptem:
a) um ponto
b) uma reta
c) três retas distintas e paralelas

Passo 1

O enunciado dá três planos em :
Para estudar a interseção usamos conceitos de sistemas lineares: o sistema homogêneo associado tem matriz de coeficientes
e as constantes formam o vetor . A interseção é ponto se , reta se , e 3 retas paralelas se .

Passo 2

Calculamos det A. Usando a primeira linha por desenvolvimento:
det A =1cdotdet-5&37&a -2cdotdet3&32&a +1cdotdet3&-52&7
Logo
det A =( -5a-21 ) -2(3a-6)+(21+10) =-5a-21-6a+12+31 =-11a+22

Passo 3

Para que a interseção seja um ponto precisamos det Aneq0. Assim
-11a+22neq0 Long<=ftrightarrow aneq2
Nesse caso o sistema é invertível e dá solução única para qualquer b.

Passo 4

Se quisermos interseção em reta, precisamos det A=0 (logo a=2) e consistência com posto igual a 2. Com a=2, os três planos têm dependência linear. Buscamos alpha,beta tais que
alpha P1+beta P2=P3,
isto é,
alpha(x+2y+z)+beta(3x-5y+3z)=(2x+7y+2z),
dando alpha=31/11 e beta=-3/11. Para as constantes:
3111b-311=8 Longrightarrow 31b-3=88 Longrightarrow b=9131
Assim para a=2 e b=91/31 o posto de [A| d] continua 2 e a solução é uma reta.

Passo 5

Para ter três retas distintas e paralelas, cada par de planos deve intersectar (posto A=2) mas não há ponto comum aos três (posto [A| d]=3). Isso obriga det A=0 e sistema inconsistente, ou seja a=2 e bneq91/31.

Resposta

a) Interseção em ponto se
aneq2, b qualquer
b) Interseção em reta se
a=2, b=9131
c) Três retas paralelas se
a=2, bneq9131

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