Determine os valores de a e b de modo que os planos e e se interceptem:
a) um ponto
b) uma reta
c) três retas distintas e paralelas
Passo 1
O enunciado dá três planos em :
Para estudar a interseção usamos conceitos de sistemas lineares: o sistema homogêneo associado tem matriz de coeficientes
e as constantes formam o vetor . A interseção é ponto se , reta se , e 3 retas paralelas se .
Passo 2
Calculamos det A. Usando a primeira linha por desenvolvimento:
det A =1cdotdet-5&37&a -2cdotdet3&32&a +1cdotdet3&-52&7
Logo
det A =( -5a-21 ) -2(3a-6)+(21+10) =-5a-21-6a+12+31 =-11a+22
Passo 3
Para que a interseção seja um ponto precisamos det Aneq0. Assim
-11a+22neq0 Long<=ftrightarrow aneq2
Nesse caso o sistema é invertível e dá solução única para qualquer b.
Passo 4
Se quisermos interseção em reta, precisamos det A=0 (logo a=2) e consistência com posto igual a 2. Com a=2, os três planos têm dependência linear. Buscamos alpha,beta tais que
alpha P1+beta P2=P3,
isto é,
alpha(x+2y+z)+beta(3x-5y+3z)=(2x+7y+2z),
dando alpha=31/11 e beta=-3/11. Para as constantes:
Assim para a=2 e b=91/31 o posto de [A| d] continua 2 e a solução é uma reta.
Passo 5
Para ter três retas distintas e paralelas, cada par de planos deve intersectar (posto A=2) mas não há ponto comum aos três (posto [A| d]=3). Isso obriga det A=0 e sistema inconsistente, ou seja a=2 e bneq91/31.