Aplique o método da Transformada de Laplace para calcular a solução y(t) das seguintes EDO(d) y^prime+2 y=f(t), y(0)=0 , onde f(t)=cct, & se 0 <= t<1, 0, & se

Passo 1

A questão pede pra gente resolver a EDO y'+2y=f(t), com condição inicial y(0)=0 e função forçante definida por partes. O conteúdo é transformada de Laplace e representação com degrau de Heaviside. Vamos usar as propriedades de linearidade, derivada e deslocamento.

Passo 2

Aplicando Laplace na equação y'+2y=f(t), e lembrando que Ly'=sY(s)-y(0), temos:
sY(s)-y(0)+2Y(s)=F(s)
Como y(0)=0, isso vira
(s+2)Y(s)=F(s)
e assim
Y(s)=F(s)s+2

Passo 3

Para achar F(s)=Lf(t), note que
f(t)=t,[u(t)-u(t-1)],
onde u(t) é o degrau unitário. Logo
F(s)=Lt-Lt,u(t-1)
Sabemos Lt=1/s^2. Para t,u(t-1), escrevemos t=(t-1)+1 e aplicamos o teorema do deslocamento:
Lt,u(t-1)=e^-sl(1s^2+1sr)
Portanto
F(s)=1s^2-e^-sl(1s^2+1sr)

Passo 4

Substituindo em Y(s)=F(s)/(s+2), separamos em dois termos:
Y(s)=1/s^2s+2-e^-s1/s^2+1/ss+2
Chamamos
Y1(s)=1s^2(s+2), Y2(s)=1/s^2+1/ss+2

Passo 5

Para inverter Y1(s)=1/[s^2(s+2)], fazemos frações parciais:
1s^2(s+2)=As+Bs^2+Cs+2,
achando A=-1/4, B=1/2, C=1/4. Então
y1(t)=L^-1Y1(s)=-tfrac14+tfrac12t+tfrac14e^-2t

Passo 6

Agora para Y2(s)=(1/s^2+1/s)/(s+2) também fazemos frações parciais:
1+ss^2(s+2)=A's+B's^2+C's+2,
com A'=1/4, B'=1/2, C'=-1/4. A inversa é
w(u)=L^-1Y2(s)=tfrac14+tfrac12u-tfrac14e^-2u
Pelo teorema do deslocamento, o termo com e^-s gera w(t-1)u(t-1).

Passo 7

Juntando tudo,
y(t)=y1(t)-w(t-1),u(t-1)
Isso dá solução em partes:
Para 0<= t<1, y(t)=y1(t)=-tfrac14+tfrac12t+tfrac14e^-2t
Para t>=1,
y(t)=-tfrac14+tfrac12t+tfrac14e^-2t-l(tfrac14+tfrac12(t-1)-tfrac14e^-2(t-1)r)

Passo 8

Simplificando para t>=1, os termos polinomiais se cancelam e sobra
y(t)=1+e^24e^-2t
Assim temos a solução completa.

Resposta

y(t)=-tfrac14+tfrac12t+tfrac14e^-2t,&0<= t<1,[6pt]dfrac1+e^24e^-2t,&t>=1

Exercícios relacionados