Aplique o método da triangulação para descobrir o determinante da matriz a seguir:
A=[ccc 3 & 1 & -2 6 & 2 & -4 9 & 3 & 5 ]
Qual propriedade importante do determinante essa matriz ilustra?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz A de 3 times 3 e precisamos calcular o seu determinante usando o método da triangulação. Além disso, devemos identificar uma propriedade importante do determinante que essa matriz ilustra. Para isso, vamos precisar conhecer como aplicar a triangulação a uma matriz e as propriedades dos determinantes envolvidas nesse processo.

Passo 2

O método da triangulação consiste em transformar a matriz em uma matriz triangular (superior ou inferior) usando operações elementares de linha. Nesse processo, precisamos lembrar que certas operações afetam o determinante de formas específicas. As operações permitidas são:
  1. Troca de duas linhas: inverte o sinal do determinante.
  2. Multiplicar uma linha por um escalar: multiplica o determinante por esse escalar.
  3. Adicionar múltiplos de uma linha a outra: não altera o determinante.
Nosso objetivo é aplicar essas operações para obter uma matriz triangular superior, da qual o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 3

Vamos começar com a matriz A :
A = 3 & 1 & -2 6 & 2 & -4 9 & 3 & 5
Primeiro, vamos utilizar a primeira linha para eliminar os elementos abaixo do primeiro elemento da diagonal principal ( a11 = 3 ).

Passo 4

Para eliminar o elemento a21 = 6 , podemos substituir a segunda linha pela segunda linha menos 2 vezes a primeira linha:
L2 = L2 - 2L1
Calculando:
L2 = [6, 2, -4] - 2 times [3, 1, -2] = [6 - 6, 2 - 2, -4 - (-4)] = [0, 0, 0]

Passo 5

Agora, para eliminar o elemento a31 = 9 , substituímos a terceira linha pela terceira linha menos 3 vezes a primeira linha:
L3 = L3 - 3L1
Calculando:
L3 = [9, 3, 5] - 3 times [3, 1, -2] = [9 - 9, 3 - 3, 5 - (-6)] = [0, 0, 11]

Passo 6

Após essas operações, a matriz fica assim:
3 & 1 & -2 0 & 0 & 0 0 & 0 & 11
Observamos que a matriz já está quase triangular superior, exceto pelo elemento a22 = 0 .

Passo 7

A próxima etapa seria tentar eliminar qualquer elemento abaixo da segunda diagonal, mas como já estamos com zeros abaixo do pivô, podemos considerar a matriz como triangular superior. O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal:
det(A) = a11 times a22 times a33 = 3 times 0 times 11 = 0

Resposta

O determinante da matriz A é igual a zero. Essa matriz ilustra a propriedade de que se uma matriz possui linhas (ou colunas) lineares dependentes, seu determinante é zero.

Exercícios relacionados