Aplique o método da triangulação para descobrir o determinante da matriz a seguir:
Qual propriedade importante do determinante essa matriz ilustra?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz A de 3 times 3 e precisamos calcular o seu determinante usando o método da triangulação. Além disso, devemos identificar uma propriedade importante do determinante que essa matriz ilustra. Para isso, vamos precisar conhecer como aplicar a triangulação a uma matriz e as propriedades dos determinantes envolvidas nesse processo.
Passo 2
O método da triangulação consiste em transformar a matriz em uma matriz triangular (superior ou inferior) usando operações elementares de linha. Nesse processo, precisamos lembrar que certas operações afetam o determinante de formas específicas. As operações permitidas são:
Troca de duas linhas: inverte o sinal do determinante.
Multiplicar uma linha por um escalar: multiplica o determinante por esse escalar.
Adicionar múltiplos de uma linha a outra: não altera o determinante.
Nosso objetivo é aplicar essas operações para obter uma matriz triangular superior, da qual o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
Passo 3
Vamos começar com a matriz A :
A = 3 & 1 & -2 6 & 2 & -4 9 & 3 & 5
Primeiro, vamos utilizar a primeira linha para eliminar os elementos abaixo do primeiro elemento da diagonal principal ( a11 = 3 ).
Passo 4
Para eliminar o elemento a21 = 6 , podemos substituir a segunda linha pela segunda linha menos 2 vezes a primeira linha:
Observamos que a matriz já está quase triangular superior, exceto pelo elemento a22 = 0 .
Passo 7
A próxima etapa seria tentar eliminar qualquer elemento abaixo da segunda diagonal, mas como já estamos com zeros abaixo do pivô, podemos considerar a matriz como triangular superior. O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal:
det(A) = a11 times a22 times a33 = 3 times 0 times 11 = 0
Resposta
O determinante da matriz A é igual a zero. Essa matriz ilustra a propriedade de que se uma matriz possui linhas (ou colunas) lineares dependentes, seu determinante é zero.