Calcule o determinante da matriz abaixo utilizando o desenvolvimento por linha
O que você observa sobre o determinante após realizar o desenvolvimento?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante da matriz A usando o desenvolvimento por uma linha. Basicamente, determinantes são números que nos dizem algumas propriedades importantes sobre uma matriz, como se ela é inversível ou não. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a expansão de determinante por uma linha e usar algumas fórmulas básicas de álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 3 times 3 . A fórmula geral usando a primeira linha é:
Mas vamos aplicar isso passo a passo para a nossa matriz:
A = 5 & -2 & 3 10 & -4 & 6 -5 & 2 & -3
Passo 3
Vamos escolher a primeira linha para fazer o desenvolvimento (você pode escolher qualquer linha, mas a primeira é a mais comum). Os elementos da primeira linha são 5, -2 e 3. Cada elemento vai multiplicar o seu cofator correspondente.
Passo 4
Vamos calcular o cofator para cada elemento da primeira linha. O cofator é dado por:
Cij = (-1)^i+j cdot det(Mij)
onde Mij é a matriz resultante de eliminar a linha i e a coluna j .
O determinante da matriz A é igual a 0. Isso mostra que a matriz é singular, ou seja, não tem inversa. Além disso, ao fazer o desenvolvimento, percebemos que todas as contribuições dos cofatores se cancelam, resultando em zero.