Calcule o determinante da matriz abaixo utilizando o desenvolvimento por linha
A=[ccc 5 & -2 & 3 10 & -4 & 6 -5 & 2 & -3 ]
O que você observa sobre o determinante após realizar o desenvolvimento?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante da matriz A usando o desenvolvimento por uma linha. Basicamente, determinantes são números que nos dizem algumas propriedades importantes sobre uma matriz, como se ela é inversível ou não. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a expansão de determinante por uma linha e usar algumas fórmulas básicas de álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 3 times 3 . A fórmula geral usando a primeira linha é:
det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)
Mas vamos aplicar isso passo a passo para a nossa matriz:
A = 5 & -2 & 3 10 & -4 & 6 -5 & 2 & -3

Passo 3

Vamos escolher a primeira linha para fazer o desenvolvimento (você pode escolher qualquer linha, mas a primeira é a mais comum). Os elementos da primeira linha são 5, -2 e 3. Cada elemento vai multiplicar o seu cofator correspondente.

Passo 4

Vamos calcular o cofator para cada elemento da primeira linha. O cofator é dado por:
Cij = (-1)^i+j cdot det(Mij)
onde Mij é a matriz resultante de eliminar a linha i e a coluna j .
Para o elemento a11 = 5 :
C11 = (-1)^1+1 cdot det -4 & 6 2 & -3 = 1 cdot [(-4)(-3) - (6)(2)] = 1 cdot (12 - 12) = 0

Passo 5

Para o elemento a12 = -2 :
C12 = (-1)^1+2 cdot det 10 & 6 -5 & -3 = -1 cdot [(10)(-3) - (6)(-5)] = -1 cdot (-30 + 30) = -1 cdot 0 = 0

Passo 6

Para o elemento a13 = 3 :
C13 = (-1)^1+3 cdot det 10 & -4 -5 & 2 = 1 cdot [(10)(2) - (-4)(-5)] = 1 cdot (20 - 20) = 0

Passo 7

Agora, vamos multiplicar cada elemento pela seu cofator e somar tudo:
det(A) = 5 cdot 0 + (-2) cdot 0 + 3 cdot 0 = 0 + 0 + 0 = 0

Resposta

O determinante da matriz A é igual a 0. Isso mostra que a matriz é singular, ou seja, não tem inversa. Além disso, ao fazer o desenvolvimento, percebemos que todas as contribuições dos cofatores se cancelam, resultando em zero.

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