Determine a integral integral x^2+3 x-2x^2-x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral x^2+3x-2x^2-x,dx
O conteúdo envolvido é integração de funções racionais. Para resolver, vamos usar divisão de polinômios (quando o grau do numerador não for menor que o do denominador) e, em seguida, decomposição em frações parciais, terminando com integrais logarítmicas.

Passo 2

Primeiro fazemos a divisão do polinômio numerador x^2+3x-2 pelo denominador x^2-x. Observamos que os dois têm mesmo grau, então:
x^2+3x-2x^2-x =1+(x^2+3x-2)-(x^2-x)x^2-x =1+4x-2x(x-1)

Passo 3

Agora decompondo a parte restante em frações parciais:
4x-2x(x-1) =Ax+Bx-1
Multiplicando por x(x-1) obtemos
4x-2 = A(x-1)+Bx = (A+B)x - A
Comparando coeficientes, temos
A+B=4, -A=-2 ;Longrightarrow; A=2,; B=2
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4x-2x(x-1)=2x+2x-1

Passo 4

Substituindo na integral original e integrando termo a termo:
integral x^2+3x-2x^2-x,dx =integrall(1+2x+2x-1r),dx =integral 1,dx + 2integral1x,dx + 2integral1x-1,dx
Aplicando as integrais conhecidas,
integral 1,dx = x, integral1x,dx = lnlvert xrvert, integral1x-1,dx = lnlvert x-1rvert

Passo 5

Somando tudo e acrescentando a constante de integração C, obtemos a antiderivada:
x + 2lnlvert xrvert + 2lnlvert x-1rvert + C

Resposta

x + 2lnlvert xrvert + 2lnlvert x-1rvert + C

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