V ou F:
( ) Se uma matriz quadrada possui inversa pela direita, então também possui pela esquerda.
( ) Toda matriz 3 times 5 não possui inversa pela direita.
( ) Toda matriz 3 times 5 não possui inversa pela esquerda.
( ) Toda matriz não nula possui inversa por pelo menos um dos lados.
( ) Se A e B são matrizes quadradas de postos diferentes, então A B não é inversível.
( ) Se A e B são matrizes quadradas de postos iguais, então A B é inversível.
( ) Se A in Mm times n e m>n, então A não possui inversa pela esquerda.
( ) Se A in Mm times n e m>n, então A não possui inversa pela direita.
( ) Se A in Mm times n e A^t A é inversível, então posto(A)=n.

Passo 1

O enunciado traz nove afirmações sobre existência de inversas (pela direita ou esquerda), invertibilidade de produto e condições de posto em matrizes quadradas e retangulares. O conteúdo envolve:
– Para Ain Mntimes n, existência de inversa pela direita ou esquerda implica inversibilidade total.
– Para Ain Mmtimes n, A tem inversa pela direita (existe X tal que AX=Im) se e só se posto(A)=m, e tem inversa pela esquerda (existe Y tal que YA=In) se e só se posto(A)=n.
– Para produtos de quadradas, se AB é invertível então posto(AB)=n<=min(posto(A),posto(B)).

Passo 2

Analisando afirmação 1:
“Se uma matriz quadrada possui inversa pela direita, então também possui pela esquerda.”
Para Ain Mntimes n, ter inversa pela direita já garante posto(A)=n, logo é invertível e tem inversa à esquerda.
Portanto a afirmação 1 é Verdadeira.

Passo 3

Usando o critério de posto para retangulares:
– Afirmação 2: “Toda matriz 3times5 não possui inversa pela direita.” Falsa, pois se posto(A)=3 então existe inversa pela direita.
– Afirmação 3: “Toda matriz 3times5 não possui inversa pela esquerda.” Verdadeira, pois posto máximo é 3<5, não atinge n=5.
– Afirmação 4: “Toda matriz não nula possui inversa por pelo menos um dos lados.” Falsa, pois matrícula singular quadrada e muitas retangulares não têm nenhuma inversa.

Passo 4

Para produtos de quadradas:
– Afirmação 5: “Se A e B são quadradas de postos diferentes, então AB não é invertível.” Verdadeira, pois para AB invertível precisaríamos posto(A)=posto(B)=n.
– Afirmação 6: “Se A e B são quadradas de postos iguais, então AB é invertível.” Falsa, pois podem ser ambos singulares (posto <n) mesmo iguais entre si, e aí AB continua singular.

Passo 5

Para Ain Mmtimes n com m>n:
– Afirmação 7: “Se m>n, então A não possui inversa pela esquerda.” Falsa, pois se posto(A)=n existe inversa pela esquerda.
– Afirmação 8: “Se m>n, então A não possui inversa pela direita.” Verdadeira, pois posto máximo n<m não alcança m.
– Afirmação 9: “Se A^tA é inversível, então posto(A)=n.” Verdadeira, pois só é invertível quando colunas de A são independentes e posto(A)=n.

Resposta

(V) (F) (V) (F) (V) (F) (F) (V) (V)

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