V ou F:
( ) Se uma matriz quadrada possui inversa pela direita, então também possui pela esquerda.
( ) Toda matriz
não possui inversa pela direita.
( ) Toda matriz
não possui inversa pela esquerda.
( ) Toda matriz não nula possui inversa por pelo menos um dos lados.
( ) Se
e
são matrizes quadradas de postos diferentes, então
não é inversível.
( ) Se
e
são matrizes quadradas de postos iguais, então
é inversível.
( ) Se
e
, então
não possui inversa pela esquerda.
( ) Se
e
, então
não possui inversa pela direita.
( ) Se
e
é inversível, então
.
( ) Se uma matriz quadrada possui inversa pela direita, então também possui pela esquerda.
( ) Toda matriz
( ) Toda matriz
( ) Toda matriz não nula possui inversa por pelo menos um dos lados.
( ) Se
( ) Se
( ) Se
( ) Se
( ) Se
Passo 1
O enunciado traz nove afirmações sobre existência de inversas (pela direita ou esquerda), invertibilidade de produto e condições de posto em matrizes quadradas e retangulares. O conteúdo envolve:
– Para , existência de inversa pela direita ou esquerda implica inversibilidade total.
– Para ,
tem inversa pela direita (existe
tal que
) se e só se
, e tem inversa pela esquerda (existe
tal que
) se e só se
.
– Para produtos de quadradas, se é invertível então
.
– Para
– Para
– Para produtos de quadradas, se
Passo 2
Analisando afirmação 1:
“Se uma matriz quadrada possui inversa pela direita, então também possui pela esquerda.”
Para , ter inversa pela direita já garante
, logo é invertível e tem inversa à esquerda.
Portanto a afirmação 1 é Verdadeira.
“Se uma matriz quadrada possui inversa pela direita, então também possui pela esquerda.”
Para
Portanto a afirmação 1 é Verdadeira.
Passo 3
Usando o critério de posto para retangulares:
– Afirmação 2: “Toda matriz não possui inversa pela direita.” Falsa, pois se
então existe inversa pela direita.
– Afirmação 3: “Toda matriz não possui inversa pela esquerda.” Verdadeira, pois posto máximo é 3<5, não atinge
.
– Afirmação 4: “Toda matriz não nula possui inversa por pelo menos um dos lados.” Falsa, pois matrícula singular quadrada e muitas retangulares não têm nenhuma inversa.
– Afirmação 2: “Toda matriz
– Afirmação 3: “Toda matriz
– Afirmação 4: “Toda matriz não nula possui inversa por pelo menos um dos lados.” Falsa, pois matrícula singular quadrada e muitas retangulares não têm nenhuma inversa.
Passo 4
Para produtos de quadradas:
– Afirmação 5: “Se e
são quadradas de postos diferentes, então
não é invertível.” Verdadeira, pois para
invertível precisaríamos
.
– Afirmação 6: “Se e
são quadradas de postos iguais, então
é invertível.” Falsa, pois podem ser ambos singulares (posto
) mesmo iguais entre si, e aí
continua singular.
– Afirmação 5: “Se
– Afirmação 6: “Se
Passo 5
Para
com
:
– Afirmação 7: “Se , então
não possui inversa pela esquerda.” Falsa, pois se
existe inversa pela esquerda.
– Afirmação 8: “Se , então
não possui inversa pela direita.” Verdadeira, pois posto máximo
não alcança
.
– Afirmação 9: “Se é inversível, então
.” Verdadeira, pois só é invertível quando colunas de
são independentes e
.
– Afirmação 7: “Se
– Afirmação 8: “Se
– Afirmação 9: “Se
Resposta
(V) (F) (V) (F) (V) (F) (F) (V) (V)