Aplique o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular de cada um dos sistemas dados.
x^prime=[rr2 & -1 1 & 2] x+[ce^2 t tg t 0]

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema não homogêneo
x'=A,x+g(t),
onde
A=2 & -1[6pt]1 & 2, g(t)=e^2ttan t[3pt]0
Queremos uma solução particular xp(t) pelo método da variação de parâmetros, que usa a fórmula
xp(t)=X(t)integral X(t)^-1,g(t),dt,
sendo X(t) uma matriz fundamental do sistema homogêneo x'=A,x.]

Passo 2

Primeiro achamos a matriz fundamental X(t) do sistema homogêneo. As autovalores de
A=2 & -11 & 2
são lambda=2pm i, logo as soluções básicas são
e^2tcos t[3pt]sin t, e^2t-sin t[3pt]cos t
Podemos então tomar
X(t)=e^2tcos t & -sin t[3pt]sin t & cos t ]

Passo 3

Calculamos
X(t)^-1 =e^-2tcos t & sin t[3pt]-sin t & cos t
e, em seguida,
X(t)^-1g(t) =e^-2t cos t & sin t[3pt]-sin t & cos t e^2ttan t[3pt]0 = sin t[3pt]-dfracsin^2tcos t ]

Passo 4

Integramos componente a componente:
integral sin t,dt=-cos t+C1, integral -sin^2tcos t,dt =-integrall(sec t-cos tr)dt =-lnl|sec t+tan tr|+sin t+C2
Podemos escolher as constantes de integração zero para obter uma solução particular.

Passo 5

Finalmente
u(t)=integral X^-1(t)g(t),dt =-cos t[3pt]sin t-ln!l|sec t+tan tr|,
logo
xp(t) =X(t),u(t) =e^2t cos t & -sin t[3pt]sin t & cos t -cos t[3pt]sin t-ln!l|sec t+tan tr|
Fazendo a multiplicação de matrizes obtemos
xp(t) =e^2t -1+sin t,ln!l|sec t+tan tr|[5pt] -cos t,ln!l|sec t+tan tr| ]

Resposta

xp(t) =e^2t -1+sin t,ln!l|sec t+tan tr|[4pt] -cos t,ln!l|sec t+tan tr| ]

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