Aplique os métodos da bisseção para calcular uma raiz das funções abaixo:
f(x)=3 x-cos (x)

Passo 1

O enunciado pede para usar o método da bisseção e aproximar uma raiz da função
f(x)=3x-cos(x)
O conteúdo é o método da bisseção para equações não–lineares. Vamos precisar de um intervalo inicial onde haja mudança de sinal em f, de uma tolerância para o erro e do critério de parada baseado no comprimento do intervalo.

Passo 2

Procuramos um intervalo [a,b] tal que f(a)cdot f(b)<0.
Calculando
f(0)=3cdot 0-cos(0)=-1<0, f(1)=3cdot1-cos(1)approx3-0,5403=2,4597>0,
logo escolhemos [a0,b0]=[0,1].

Passo 3

Definimos a tolerância varepsilon=10^-3. O número mínimo de iterações N para garantir tfracb0-a02^N<=varepsilon é
N>=log2l(1-010^-3r)=log2(10^3)approx9,97,
portanto usaremos N=10 iterações. A cada iteração k calculamos
mk=ak-1+bk-12,
avaliamos f(mk) e escolhemos o subintervalo onde ocorre a mudança de sinal.

Passo 4

Nas primeiras quatro iterações temos (aproximações exibidas com 4 casas decimais):
c|c|c|c|c k & ak-1 & bk-1 & mk & f(mk)hline 1 & 0 & 1 & 0,5000 & 0,6224 2 & 0 & 0,5000& 0,2500 & -0,2189 3 & 0,2500& 0,5000& 0,3750 & 0,1945 4 & 0,2500& 0,3750& 0,3125 & -0,0138
Continuando esse procedimento até k=10, obtém-se o intervalo
[a10,,b10]=[0,3164,;0,3174],
cujo comprimento approx10^-3 atende à nossa tolerância.

Passo 5

A melhor aproximação da raiz que temos é o último ponto médio
m10=a9+b92approx0,3174
Verificamos que lvert f(m10)rvert<10^-3, portanto esta é a nossa solução aproximada.

Resposta

A raiz aproximada é xapprox0,3174.

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