1. (a) Mostre que a função de onda Psi(x, t)=A e^(k x-omega t) não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo. (b) Mostre que a função Psi(x, t)=A e^i(k x-omega t) satisfaz tanto a equação de Schrödinger dependente do tempo quanto a equação de onda clássica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de mecânica quântica juntos! A gente tem duas funções de onda dadas e precisamos verificar se elas satisfazem a equação de Schrödinger dependente do tempo. Além disso, para a segunda função, também precisamos ver se ela satisfaz a equação de onda clássica. Para isso, vamos precisar entender a própria equação de Schrödinger e como aplicá-la nas funções de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de Schrödinger dependente do tempo. Ela é dada por:
ihbar partial Psipartial t = -hbar^22m partial^2 Psipartial x^2 + V(x)Psi
Aqui, Psi(x, t) é a função de onda, hbar é a constante de Planck reduzida, m é a massa da partícula, e V(x) é o potencial. No nosso caso, vamos assumir que V(x) = 0 para simplificar.

Passo 3

Vamos começar com a parte (a) do exercício. A função de onda dada é:
Psi(x, t) = A e^(k x - omega t)
Queremos verificar se essa função satisfaz a equação de Schrödinger.

Passo 4

Primeiro, calculamos a derivada parcial de Psi em relação ao tempo t :
partial Psipartial t = -A omega e^(k x - omega t)
Multiplicando por ihbar :
ihbar partial Psipartial t = -ihbar A omega e^(k x - omega t)

Passo 5

Agora, calculamos a segunda derivada parcial de Psi em relação ao espaço x :
partial Psipartial x = A k e^(k x - omega t)
partial^2 Psipartial x^2 = A k^2 e^(k x - omega t)
Multiplicando por -hbar^22m :
-hbar^22m partial^2 Psipartial x^2 = -hbar^2 k^22m A e^(k x - omega t)

Passo 6

Como V(x) = 0 , a equação de Schrödinger fica:
ihbar partial Psipartial t = -hbar^22m partial^2 Psipartial x^2
Substituindo os resultados das derivadas:
-ihbar A omega e^(k x - omega t) = -hbar^2 k^22m A e^(k x - omega t)

Passo 7

Agora, podemos simplificar cancelando A e^(k x - omega t) dos dois lados:
-ihbar omega = -hbar^2 k^22m
Simplificando os sinais:
ihbar omega = hbar^2 k^22m

Passo 8

Observamos que o lado esquerdo é imaginário ( i ) e o lado direito é real. Para que a igualdade seja válida, ambos os lados devem ser iguais. Isso só acontece se hbar omega = 0 , o que implicaria omega = 0 . Mas se omega = 0 , a função de onda não depende do tempo, o que não é o caso. Portanto, a função Psi(x, t) = A e^(k x - omega t) não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo.

Passo 9

Agora, vamos para a parte (b). A função de onda dada é:
Psi(x, t) = A e^i(k x - omega t)
Vamos verificar se essa função satisfaz a equação de Schrödinger e a equação de onda clássica.

Passo 10

Primeiro, aplicamos a equação de Schrödinger. Calculamos a derivada parcial em relação ao tempo:
partial Psipartial t = -iomega A e^i(k x - omega t)
Multiplicando por ihbar :
ihbar partial Psipartial t = hbar omega A e^i(k x - omega t)

Passo 11

Agora, calculamos a segunda derivada parcial em relação ao espaço:
partial Psipartial x = i k A e^i(k x - omega t)
partial^2 Psipartial x^2 = -k^2 A e^i(k x - omega t)
Multiplicando por -hbar^22m :
-hbar^22m partial^2 Psipartial x^2 = hbar^2 k^22m A e^i(k x - omega t)

Passo 12

Substituindo na equação de Schrödinger:
hbar omega A e^i(k x - omega t) = hbar^2 k^22m A e^i(k x - omega t)
Cancelando A e^i(k x - omega t) :
hbar omega = hbar^2 k^22m
Simplificando:
omega = hbar k^22m
Isso mostra que a função satisfaz a equação de Schrödinger se omega = hbar k^22m .

Passo 13

Agora, vamos verificar se a função satisfaz a equação de onda clássica. A equação de onda clássica em uma dimensão é:
partial^2 Psipartial t^2 = v^2 partial^2 Psipartial x^2
Para nossa função Psi(x, t) = A e^i(k x - omega t) , calculamos as derivadas:
partial^2 Psipartial t^2 = -omega^2 A e^i(k x - omega t)
partial^2 Psipartial x^2 = -k^2 A e^i(k x - omega t)
Substituindo na equação de onda:
-omega^2 A e^i(k x - omega t) = v^2 (-k^2) A e^i(k x - omega t)
Cancelando termos semelhantes:
-omega^2 = -v^2 k^2
Ou seja,
omega^2 = v^2 k^2

Passo 14

Comparando com a relação que encontramos na equação de Schrödinger ( omega = hbar k^22m ), vemos que para que ambas as equações sejam satisfeitas, a velocidade v deve estar relacionada com omega e k de forma consistente. Isso confirma que a função Psi(x, t) = A e^i(k x - omega t) satisfaz tanto a equação de Schrödinger dependente do tempo quanto a equação de onda clássica, desde que as relações entre omega , k e v sejam mantidas.

Resposta

(a) A função Psi(x, t) = A e^(k x - omega t) não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo porque leva a uma igualdade onde um lado é imaginário e o outro é real, o que não é possível a menos que omega = 0 .
(b) A função Psi(x, t) = A e^i(k x - omega t) satisfaz tanto a equação de Schrödinger dependente do tempo quanto a equação de onda clássica, desde que omega = hbar k^22m e omega^2 = v^2 k^2 . Portanto, essa função é uma solução válida para ambas as equações.

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