- (a) Mostre que a função de onda
não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo. (b) Mostre que a função
satisfaz tanto a equação de Schrödinger dependente do tempo quanto a equação de onda clássica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de mecânica quântica juntos! A gente tem duas funções de onda dadas e precisamos verificar se elas satisfazem a equação de Schrödinger dependente do tempo. Além disso, para a segunda função, também precisamos ver se ela satisfaz a equação de onda clássica. Para isso, vamos precisar entender a própria equação de Schrödinger e como aplicá-la nas funções de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de Schrödinger dependente do tempo. Ela é dada por:
Aqui,
é a função de onda,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula, e
é o potencial. No nosso caso, vamos assumir que
para simplificar.
Passo 3
Vamos começar com a parte (a) do exercício. A função de onda dada é:
Queremos verificar se essa função satisfaz a equação de Schrödinger.
Passo 4
Primeiro, calculamos a derivada parcial de
em relação ao tempo
:
Multiplicando por
:
Passo 5
Agora, calculamos a segunda derivada parcial de
em relação ao espaço
:
Multiplicando por
:
Passo 6
Como
, a equação de Schrödinger fica:
Substituindo os resultados das derivadas:
Passo 7
Agora, podemos simplificar cancelando
dos dois lados:
Simplificando os sinais:
Passo 8
Observamos que o lado esquerdo é imaginário (
) e o lado direito é real. Para que a igualdade seja válida, ambos os lados devem ser iguais. Isso só acontece se
, o que implicaria
. Mas se
, a função de onda não depende do tempo, o que não é o caso. Portanto, a função
não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo.
Passo 9
Agora, vamos para a parte (b). A função de onda dada é:
Vamos verificar se essa função satisfaz a equação de Schrödinger e a equação de onda clássica.
Passo 10
Primeiro, aplicamos a equação de Schrödinger. Calculamos a derivada parcial em relação ao tempo:
Multiplicando por
:
Passo 11
Agora, calculamos a segunda derivada parcial em relação ao espaço:
Multiplicando por
:
Passo 12
Substituindo na equação de Schrödinger:
Cancelando
:
Simplificando:
Isso mostra que a função satisfaz a equação de Schrödinger se
.
Passo 13
Agora, vamos verificar se a função satisfaz a equação de onda clássica. A equação de onda clássica em uma dimensão é:
Para nossa função
, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação de onda:
Cancelando termos semelhantes:
Ou seja,
Passo 14
Comparando com a relação que encontramos na equação de Schrödinger (
), vemos que para que ambas as equações sejam satisfeitas, a velocidade
deve estar relacionada com
e
de forma consistente. Isso confirma que a função
satisfaz tanto a equação de Schrödinger dependente do tempo quanto a equação de onda clássica, desde que as relações entre
,
e
sejam mantidas.
Resposta
(a) A função
não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo porque leva a uma igualdade onde um lado é imaginário e o outro é real, o que não é possível a menos que
.
(b) A função
satisfaz tanto a equação de Schrödinger dependente do tempo quanto a equação de onda clássica, desde que
e
. Portanto, essa função é uma solução válida para ambas as equações.