Aplique os métodos da bisseção para calcular uma raiz das funções abaixo:
Passo 1
A função em questão é f(x)=ln(x)−sin(x). O conteúdo é o método da bisseção, que usa o Teorema do Valor Intermediário: se f é contínua em [a,b] e f(a)·f(b)<0, existe pelo menos uma raiz em (a,b). Vamos avaliar f em pontos médios e reduzir o intervalo até a largura ser menor que a tolerância.
Passo 2
Primeiro, encontramos um intervalo [a,b] onde f(a) e f(b) têm sinais opostos. Note que f(2)=ln(2)−sin(2)≈0.6931−0.9093=−0.2162<0 e f(3)=ln(3)−sin(3)≈1.0986−0.1411=0.9575>0. Logo, existe uma raiz em [2,3].
Passo 3
Aplicamos o método da bisseção com tolerância tol=10^{−3}. A cada iteração calculamos m=(a+b)/2, avaliamos f(m) e escolhemos o subintervalo onde há troca de sinal. Segue resumo das iterações: 1) [2,3]→m=2.5, f(m)=+0.3178 → novo intervalo [2,2.5]. 2) [2,2.5]→m=2.25, f(m)=+0.0328 → [2,2.25]. 3) [2,2.25]→m=2.125, f(m)=−0.0973 → [2.125,2.25]. 4) [2.125,2.25]→m=2.1875, f(m)=−0.0412 → [2.1875,2.25]. 5) [2.1875,2.25]→m=2.21875, f(m)=−0.0032 → [2.21875,2.25]. 6) [2.21875,2.25]→m=2.234375, f(m)=+0.0144 → [2.21875,2.234375]. 7) [2.21875,2.234375]→m=2.2265625, f(m)=+0.0055 → [2.21875,2.2265625]. 8) [2.21875,2.2265625]→m=2.22265625, f(m)=+0.00115 → [2.21875,2.22265625]. 9) [2.21875,2.22265625]→m=2.220703125, f(m)=−0.0010 → [2.220703125,2.22265625]. 10) [2.220703125,2.22265625]→m=2.2216796875, f(m)=+0.00009 → [2.220703125,2.2216796875]. Agora b−a≈0.0009766<10^{−3}, então paramos.
Passo 4
A raiz aproximada, ao atingirmos a tolerância de 10^{−3}, é x≈2.22168.
Resposta
x≈2.2217 (com tolerância 10^{−3})