Usando o método de Newton, com erro epsilon <= 10^-3, determinar uma raiz das seguintes equações:
sin (x)-x-1=0

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos encontrar uma raiz da equação sin(x)-x-1=0 usando o método de Newton com erro máximo epsilon<=10^-3. O conteúdo envolve aproximação de raízes de funções; vamos precisar definir f(x), sua derivada f'(x) e o critério de parada.

Passo 2

Definimos a função alvo e sua derivada. Para
f(x)=sin(x)-x-1
segue que
f'(x)=cos(x)-1
O método de Newton itera segundo
xn+1=xn-f(xn)f'(xn)
e paramos quando
|xn+1-xn|<=10^-3

Passo 3

Observando o sinal de f em pontos inteiros, temos
f(-2)approx0.0907>0 e f(-1)approx-0.8415<0, logo existe raiz em (-2,-1). Tomamos x0=-1.5 e aplicamos Newton:
  • Para x0=-1.5:
    f(x0)approx-0.4975, f'(x0)approx-0.9293
    x1=-1.5--0.4975-0.9293approx-2.0353
  • Para x1approx-2.0353:
    f(x1)approx0.1385, f'(x1)approx-1.4478
    x2=-2.0353-0.1385-1.4478approx-1.9394
  • Para x2approx-1.9394:
    f(x2)approx0.0073, f'(x2)approx-1.3592
    x3=-1.9394-0.0073-1.3592approx-1.9339
  • Para x3approx-1.9339:
    f(x3)approx-0.0001, f'(x3)approx-1.3576
    x4=-1.9339--0.0001-1.3576approx-1.9340
    Verificamos que
|x4-x3|approx7times10^-5<10^-3
então a iteração pode ser encerrada.

Resposta

x approx -1.9340

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