Aplique os métodos deste capítulo às seguintes equaçōes:
Passo 1
O enunciado pede para analisar a seção cônica dada pela equação
Usaremos os métodos de classificação de cônicas: 1) calcular o discriminante
para identificar o tipo, 2) encontrar o centro via derivadas parciais, 3) translação para eliminar termos lineares, 4) rotação para eliminar o termo misto
, e 5) escrever a forma canônica.
Passo 2
Identificamos
,
,
. O discriminante é
Como
, trata-se de uma hipérbole.
Passo 3
O centro
resolve
Da primeira vem
. Substituindo na segunda,
logo
. Assim o centro é
.
Passo 4
Fazemos a translação
Substituindo na equação original e simplificando, obtemos
Passo 5
Para eliminar o termo misto usamos rotação de ângulo
tal que
Nesse referencial girado, a forma quadrática se diagonaliza com autovalores
isto é,
e
.
Passo 6
Escrevendo em coordenadas principais
giradas de
, a equação fica
Passo 7
Portanto a curva é uma hipérbole centrada em
, cujos eixos principais formam com o eixo
um ângulo
dado por
, e cuja forma canônica é
Resposta
A cônica é uma hipérbole de centro
. Em coordenadas giradas de ângulo
com
, sua forma canônica é