Aplique os métodos deste capítulo às seguintes equaçōes:
2 x^2-12 x y+7 y^2+8 x+20 y-14=0

Passo 1

O enunciado pede para analisar a seção cônica dada pela equação
2x^2-12xy+7y^2+8x+20y-14=0
Usaremos os métodos de classificação de cônicas: 1) calcular o discriminante B^2-4AC para identificar o tipo, 2) encontrar o centro via derivadas parciais, 3) translação para eliminar termos lineares, 4) rotação para eliminar o termo misto XY, e 5) escrever a forma canônica.

Passo 2

Identificamos A=2, B=-12, C=7. O discriminante é
De<a = B^2-4AC = (-12)^2 - 4cdot2cdot7 = 144 - 56 = 88
Como De<a>0, trata-se de uma hipérbole.

Passo 3

O centro (x0,y0) resolve
partial fpartial x=4x -12y +8 = 0, partial fpartial y=-12x +14y +20 = 0
Da primeira vem x -3y = -2. Substituindo na segunda,
-6(3y-2)+7y = -10 ;Longrightarrow; -18y+12+7y=-10 ;Longrightarrow; -11y=-22 ;Longrightarrow; y=2,
logo x=3cdot2-2=4. Assim o centro é (4,2).

Passo 4

Fazemos a translação
x = X + 4, y = Y + 2
Substituindo na equação original e simplificando, obtemos
2X^2-12XY+7Y^2+22 = 0

Passo 5

Para eliminar o termo misto usamos rotação de ângulo theta tal que
tan(2theta) = B'A-C = -122-7 = 125
Nesse referencial girado, a forma quadrática se diagonaliza com autovalores
lambda1,2 = (A+C)pmraiz(A-C)^2+B'^22 = 9pmraiz25+1442 = 9pm132,
isto é, lambda1=11 e lambda2=-2.

Passo 6

Escrevendo em coordenadas principais (u,v) giradas de theta, a equação fica
11,u^2;-;2,v^2;+;22 = 0 ;Long<=ftrightarrow; v^211;-;u^22 = 1

Passo 7

Portanto a curva é uma hipérbole centrada em (4,2), cujos eixos principais formam com o eixo X um ângulo theta dado por theta=tfrac12arctan(12/5), e cuja forma canônica é
v^211;-;u^22 = 1

Resposta

A cônica é uma hipérbole de centro (4,2). Em coordenadas giradas de ângulo theta com tan(2theta)=12/5, sua forma canônica é
v^211;-;u^22 ;=;1

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