Em cada caso, determinar os autovalores, os autovetores, uma base para cada autoespaço e uma matriz não-singular , se existir, de modo que seja diagonal.
(Grupo A) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma matriz A e precisamos encontrar seus autovalores, autovetores, uma base para cada autoespaço e uma matriz não-singular P tal que D = P^-1 A P seja uma matriz diagonal. Esse processo faz parte da álgebra linear, mais especificamente no estudo de autovalores e autovetores. Vamos precisar usar conceitos como determinantes, equações características e sistemas lineares. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de A . Para isso, precisamos resolver a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.
Mas já temos lambda1 = 1 , então na verdade os autovalores são lambda = 1 (com multiplicidade 2) e lambda = 5 .
Passo 7
Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para [\lambda = 1):
Resolvemos :
Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação: (-2x + 2y - z = 0 \implies z = -2x + 2y]
Da terceira equação: [-4y + 2z = 0 \implies z = 2y)
Substituindo na equação anterior:
Então, e . Vamos expressar os vetores autovetores em termos de :
Então, um autovetor para é .
Para :
Resolvemos :
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: (x = 0]
Da terceira equação:
Da segunda equação:
Então, e . Expressando em termos de :
Um autovetor para é .
Passo 8
Agora, vamos montar uma base para cada autoespaço.
Para lambda = 1 :
O conjunto de autovetores é todo múltiplo de 0 1 2 . Portanto, a base é:
0 1 2
Para lambda = 5 :
O conjunto de autovetores é todo múltiplo de 0 1 -2 . Portanto, a base é:
0 1 -2
Passo 9
Agora, precisamos construir uma matriz não-singular P cujas colunas sejam os autovetores de A . Como temos dois autovalores, mas A é uma matriz 3 times 3 , percebemos que o autovalor lambda = 1 tem multiplicidade algébrica 2, mas no nosso cálculo de autovetores, só encontramos um autovetor independente. Isso indica que A não é diagonalizável, pois não temos uma base completa de autovetores.
Passo 10
Como A não possui uma base completa de autovetores (faltando um autovetor para lambda = 1 ), não existe uma matriz não-singular P que satisfaz D = P^-1 A P sendo diagonal. Portanto, A não é diagonalizável.
Resposta
Os autovalores de A são lambda = 1 (com multiplicidade 2) e lambda = 5 . Os autovetores correspondentes são 0 1 2 para lambda = 1 e 0 1 -2 para lambda = 5 . As bases para os autoespaços são 0 1 2 e 0 1 -2 . Não existe uma matriz não-singular P que diagonalize A , pois A não é diagonalizável.