Aplique os métodos deste capítulo às seguintes equaçōes:
Passo 1
O enunciado pede para estudar a curva dada por
usando os métodos de classificação de cônicas, rotação de eixos e redução ao formulário canônico.
Passo 2
Identificamos os coeficientes da forma geral
com
O discriminante da parte quadrática é
logo trata-se de uma hipérbole ou de uma hipérbole degenerada.
Passo 3
Para eliminar o termo misto
fazemos a rotação de eixos pelo ângulo
tal que
Daí
,
,
,
.
As coordenadas rotacionadas satisfazem
As coordenadas rotacionadas
Os autovalores da parte quadrática são
isto é,
,
.
Logo, na base rotacionada a equação fica
Logo, na base rotacionada a equação fica
com
obtidos pela substituição linear nos termos
.
Passo 4
Calculamos explicitamente os coeficientes lineares em
:
Assim a equação é
O centro na coordenada
vem de zerar as derivadas parciais:
Passo 5
Fazendo a translação
eliminam-se os termos lineares e o termo constante, restando
Isto mostra que a curva é uma hipérbole degenerada, composta por duas retas que se cruzam no centro.
Passo 6
Voltando às coordenadas originais, a fatoração direta da equação mostra
As duas retas são, portanto,
que se interceptam no ponto
.
Resposta
A curva é uma hipérbole degenerada, dada pelas retas