Aplique os métodos deste capítulo às seguintes equaçōes:
7 x^2+6 x y-y^2-2 x-10 y-9=0

Passo 1

O enunciado pede para estudar a curva dada por
7x^2 + 6xy - y^2 - 2x - 10y - 9 = 0
usando os métodos de classificação de cônicas, rotação de eixos e redução ao formulário canônico.

Passo 2

Identificamos os coeficientes da forma geral
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
com
A=7, B=6, C=-1, D=-2, E=-10, F=-9
O discriminante da parte quadrática é
De<a = B^2 - 4AC = 6^2 - 4cdot 7cdot(-1) = 36 + 28 = 64 > 0,
logo trata-se de uma hipérbole ou de uma hipérbole degenerada.

Passo 3

Para eliminar o termo misto xy fazemos a rotação de eixos pelo ângulo theta tal que
tan(2theta) = BA - C = 67 - (-1) = 68 = 34
Daí cos(2theta)=tfrac45, sin(2theta)=tfrac35,
costheta=tfrac3raiz10, sintheta=tfrac1raiz10.
As coordenadas rotacionadas (x',y') satisfazem
x = 3raiz10x' - 1raiz10y', y = 1raiz10x' + 3raiz10y'
Os autovalores da parte quadrática são
lambda1,2 = A + C pm raiz(A-C)^2 + B^22 = 7 -1 pm raiz8^2 + 6^22 = 6 pm 102,
isto é, lambda1=8, lambda2=-2.
Logo, na base rotacionada a equação fica
8x'^2 ;-;2y'^2 ;+;D',x' + E',y' ;-;9 = 0,
com D',E' obtidos pela substituição linear nos termos Dx+Ey.

Passo 4

Calculamos explicitamente os coeficientes lineares em (x',y'):
-2x -10y = -2l(tfrac3raiz10x' - tfrac1raiz10y'r) -10l(tfrac1raiz10x' + tfrac3raiz10y'r) = -16raiz10,x' ;-;28raiz10,y'
Assim a equação é
8x'^2 -2y'^2 -16raiz10,x' -28raiz10,y' -9 = 0
O centro na coordenada (x',y') vem de zerar as derivadas parciais:
partialpartial x':;16x' - 16raiz10 = 0 ;Rightarrow; x' = 1raiz10,
partialpartial y':;-4y' - 28raiz10 = 0 ;Rightarrow; y' = -7raiz10

Passo 5

Fazendo a translação
X = x' - 1raiz10, Y = y' + 7raiz10,
eliminam-se os termos lineares e o termo constante, restando
8X^2 ;-;2Y^2 = 0 ;Longrightarrow; 4X^2 - Y^2 = 0 ;Longrightarrow; (2X - Y),(2X + Y) = 0
Isto mostra que a curva é uma hipérbole degenerada, composta por duas retas que se cruzam no centro.

Passo 6

Voltando às coordenadas originais, a fatoração direta da equação mostra
7x^2 + 6xy - y^2 - 2x - 10y - 9 = (7x - y - 9),(x + y + 1) = 0
As duas retas são, portanto,
7x - y - 9 = 0 e x + y + 1 = 0,
que se interceptam no ponto (1,-2).

Resposta

A curva é uma hipérbole degenerada, dada pelas retas
7x - y - 9 = 0 e x + y + 1 = 0

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