Aplique os métodos deste capítulo à seguintes equaçores:
x^2+2 y^2-4 x-4 y-1=0

Passo 1

O enunciado dá a equação do segundo grau em x e y:
x^2 + 2y^2 - 4x - 4y - 1 = 0
Vamos classificar essa cônica e encontrar sua forma canônica completando quadrados.

Passo 2

Para classificar, usamos o discriminante De<a = B^2 - 4AC da equação geral Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F=0. Aqui A=1, B=0, C=2, logo
De<a = 0^2 - 4cdot1cdot2 = -8 < 0
Como De<a<0 e A e C têm o mesmo sinal, trata-se de uma elipse.

Passo 3

Agora vamos completar quadrados em x e em y. Primeiro isolamos os termos quadráticos:
x^2 - 4x ;+; 2(y^2 - 2y) ;=; 1
Complete o quadrado em x:
x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4
Complete o quadrado em y:
y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1
Substituindo na equação:
(x - 2)^2 - 4 ;+; 2l((y - 1)^2 - 1r) = 1 Longrightarrow (x - 2)^2 + 2(y - 1)^2 = 7

Passo 4

Para obter a forma canônica dividimos ambos os lados por 7:
(x - 2)^27 ;+; (y - 1)^27/2 = 1
Logo temos
(x - 2)^2a^2 + (y - 1)^2b^2 = 1,
com a^2 = 7 e b^2 = tfrac72.

Passo 5

Da forma canônica
(x - 2)^27 + (y - 1)^27/2 = 1
vemos que:
O centro é (2,1).
O semi-eixo maior é
a = raiz7
e o semi-eixo menor é
b = raiztfrac72
Como a > b, o eixo maior é paralelo ao eixo x.
Os vértices estão em (2pm a,,1), isto é (2-raiz7,,1) e (2+raiz7,,1).
Para os focos calculamos
c^2 = a^2 - b^2 = 7 - tfrac72 = tfrac72,
logo
c = raiztfrac72
Os focos são
l(2-raiztfrac72,,1r) e l(2+raiztfrac72,,1r).
A excentricidade é
e = ca = raiztfrac72raiz7 = 1raiz2

Resposta

A equação representa uma elipse de centro (2,1), com semi-eixo maior a=raiz7, semi-eixo menor b=raiz7/2, vértices em (2pmraiz7,,1), focos em l(2pmraiztfrac72,,1r) e excentricidade e=1/raiz2.

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