Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Prove as verdadeiras e apresente um contra-exemplo para as falsas
As diagonais de um paralelogramo sāo sempre ortogonais.

Passo 1

O enunciado pergunta se “as diagonais de um paralelogramo são sempre ortogonais”. O conteúdo envolve geometria vetorial e produto escalar. Para resolver, vamos representar as arestas do paralelogramo por vetores e usar o produto escalar para testar a ortogonalidade das diagonais.

Passo 2

Sejam u e v os vetores que definem o paralelogramo a partir de um vértice comum. As diagonais são
d1 = u + v, d2 = u - v
Para que elas sejam ortogonais, deve valer
d1cdotd2 = 0

Passo 3

Calculemos o produto escalar:
d1cdotd2 = (u + v)cdot(u - v) = |u|^2 ;-;|v|^2
Logo, a condição d1cdotd2=0 implica
|u|^2 = |v|^2 ;Long<=ftrightarrow; |u| = |v|
Isto é, só quando os lados têm igual comprimento (caso do losango) as diagonais são ortogonais.

Passo 4

Como não é obrigatório que |u|=|v| em todo paralelogramo, a afirmação geral é falsa.
Contra-exemplo: o retângulo de vértices (0,0), (2,0), (2,1), (0,1). As diagonais são
d1=(2,1) e d2=(-2,1),
e
(2,1)cdot(-2,1) = -4 + 1 = -3 neq 0
Portanto, neste paralelogramo (retângulo não quadrado) as diagonais não são ortogonais.

Resposta

A afirmação é falsa.

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