Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Prove as verdadeiras e apresente um contra-exemplo para as falsas
As diagonais de um paralelogramo sāo sempre ortogonais.
As diagonais de um paralelogramo sāo sempre ortogonais.
Passo 1
O enunciado pergunta se “as diagonais de um paralelogramo são sempre ortogonais”. O conteúdo envolve geometria vetorial e produto escalar. Para resolver, vamos representar as arestas do paralelogramo por vetores e usar o produto escalar para testar a ortogonalidade das diagonais.
Passo 2
Sejam
e
os vetores que definem o paralelogramo a partir de um vértice comum. As diagonais são
Para que elas sejam ortogonais, deve valer
Passo 3
Calculemos o produto escalar:
Logo, a condição
implica
Isto é, só quando os lados têm igual comprimento (caso do losango) as diagonais são ortogonais.
Passo 4
Como não é obrigatório que
em todo paralelogramo, a afirmação geral é falsa.
Contra-exemplo: o retângulo de vértices ,
,
,
. As diagonais são
e
,
e
Contra-exemplo: o retângulo de vértices
e
Portanto, neste paralelogramo (retângulo não quadrado) as diagonais não são ortogonais.
Resposta
A afirmação é falsa.