Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma transformação linear cuja matriz com relação à base canônica seja
\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 0 & -1 & -1 \end{array}\right)
(a) Determine T(x, y, z).
(b) Qual é a matriz do operador T com relação à base \mathcal{B}=\{(-1,1,0),(1,-1,1),(0,1,-1)\} ?
(c) O operador T é invertível? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 cuja matriz na base canônica é
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] -1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}.
Pede-se:
  • (a) determinar T(x,y,z) (ou seja, a imagem de um vetor genérico);
  • (b) encontrar a matriz de T relativa à base \mathcal{B}=\{b_1,b_2,b_3\} com
b_1 = (-1,1,0),\qquad b_2=(1,-1,1),\qquad b_3=(0,1,-1);
  • (c) decidir se T é invertível e justificar.
Listei todas as informações relevantes: a matriz A (na base canônica) e os vetores da base \mathcal{B}. A resolução começa calculando T(x,y,z) a partir de A.]

Passo 2

Quando a matriz de T na base canônica é A, a aplicação em coordenadas canônicas é dada por multiplicação matricial:
T(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix}.
Vamos multiplicar. Escrevendo a multiplicação linha a linha:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] -1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot x + 1\cdot y + 0\cdot z\\[4pt] -1\cdot x + 0\cdot y + 1\cdot z\\[4pt] 0\cdot x - 1\cdot y - 1\cdot z \end{pmatrix}.
Agora simplifico cada entrada: a primeira é x+y; a segunda é -x+z; a terceira é -y-z. Portanto
T(x,y,z) = (x+y,\;-x+z,\;-y-z).
Explicação curta sobre o processo: multiplicação matriz-vetor pega cada linha da matriz e faz produto escalar com o vetor coluna (x,y,z)^T; esse resultado é a coordenada correspondente da imagem.]

Passo 3

Para obter a matriz de T relativa à base \mathcal{B} usamos a regra padrão: as colunas dessa nova matriz são as coordenadas, na base \mathcal{B}, das imagens T(b_1),T(b_2),T(b_3). Vou calcular T(b_i) usando a fórmula encontrada no passo anterior.
Calculo T(b_1) com b_1=(-1,1,0):
T(-1,1,0) = (-1+1,\; -(-1)+0,\; -1-0) = (0,\;1,\;-1).
Repare que (0,1,-1) é precisamente b_3 (peguei esse dado da base \mathcal{B}). Então
T(b_1) = b_3.
Isto significa que as coordenadas de T(b_1) na base \mathcal{B} são (0,0,1) (ou seja, 0\cdot b_1 + 0\cdot b_2 + 1\cdot b_3).

Passo 4

Calculo T(b_2) com b_2=(1,-1,1):
T(1,-1,1) = (1+(-1),\; -1+1,\; -(-1)-1) = (0,\;0,\;0).
Logo T(b_2)=0. As coordenadas de T(b_2) em \mathcal{B} são (0,0,0).

Passo 5

Calculo T(b_3) com b_3=(0,1,-1):
T(0,1,-1) = (0+1,\; -0+(-1),\; -1-(-1)) = (1,\;-1,\;0).
Agora preciso escrever (1,-1,0) como combinação dos vetores de \mathcal{B}. Observando os vetores da base (peguei-os do enunciado),
b_1 = (-1,1,0)\quad\Rightarrow\quad -b_1=(1,-1,0).
Portanto (1,-1,0) = -1\cdot b_1 + 0\cdot b_2 + 0\cdot b_3. Assim as coordenadas de T(b_3) em \mathcal{B} são (-1,0,0).

Passo 6

Agora monto a matriz de T na base \mathcal{B}. As colunas são, na ordem, as coordenadas de T(b_1),T(b_2),T(b_3):
[T]_{\mathcal{B}}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},
ou seja, coluna 1 é \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}, coluna 2 é \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, coluna 3 é \begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Breve comentário didático: em geral para mudar da base canônica para \mathcal{B} formaria-se a matriz de troca cujas colunas são os b_i e faria uma conjugação; aqui calculei diretamente usando imagens dos vetores da base, que é o procedimento mais direto em provas.]

Passo 7

Decidir se T é invertível. Critério usado: T é invertível se, e somente se, sua matriz na base canônica tem determinante diferente de zero (ou equivalentemente se for injetiva/sobrejetiva). Vou calcular \det(A).
Calculo da determinante de
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] -1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}
pelo desenvolvimento na primeira linha:
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-1 & -1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Calculo os menores:
\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-1 & -1\end{pmatrix}=0\cdot(-1)-1\cdot(-1)=1,
\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}=(-1)(-1)-1\cdot 0=1.
Então
\det(A)=1\cdot 1 - 1\cdot 1 = 0.
Como \det(A)=0, a matriz é singular e T não é invertível.
Complemento fácil de entender: já vimos no Passo 4 que T(b_2)=0 com b_2\neq 0, ou seja, existe vetor não-nulo no núcleo de T; isso implica que T não é injetiva e, por consequência, não é invertível.]

Resposta

(a) T(x,y,z)=(x+y,\;-x+z,\;-y-z)
(b) [T]_{\mathcal{B}}=\displaystyle\begin{pmatrix}0 & 0 & -1\\[4pt]0 & 0 & 0\\[4pt]1 & 0 & 0\end{pmatrix}
(c) Não. T não é invertível, pois \det(A)=0 (e de fato T(b_2)=0 com b_2\neq 0, logo o núcleo é não-trivial).]

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