(a) Determine T(x, y, z).
(b) Qual é a matriz do operador T com relação à base \mathcal{B}=\{(-1,1,0),(1,-1,1),(0,1,-1)\} ?
(c) O operador T é invertível? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 cuja matriz na base canônica é
Listei todas as informações relevantes: a matriz A (na base canônica) e os vetores da base \mathcal{B}. A resolução começa calculando T(x,y,z) a partir de A.]
Passo 2
Quando a matriz de T na base canônica é A, a aplicação em coordenadas canônicas é dada por multiplicação matricial:
Vamos multiplicar. Escrevendo a multiplicação linha a linha:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] -1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot x + 1\cdot y + 0\cdot z\\[4pt] -1\cdot x + 0\cdot y + 1\cdot z\\[4pt] 0\cdot x - 1\cdot y - 1\cdot z \end{pmatrix}.
Agora simplifico cada entrada: a primeira é x+y; a segunda é -x+z; a terceira é -y-z. Portanto
T(x,y,z) = (x+y,\;-x+z,\;-y-z).
Explicação curta sobre o processo: multiplicação matriz-vetor pega cada linha da matriz e faz produto escalar com o vetor coluna (x,y,z)^T; esse resultado é a coordenada correspondente da imagem.]
Passo 3
Para obter a matriz de T relativa à base \mathcal{B} usamos a regra padrão: as colunas dessa nova matriz são as coordenadas, na base \mathcal{B}, das imagens T(b_1),T(b_2),T(b_3). Vou calcular T(b_i) usando a fórmula encontrada no passo anterior.
ou seja, coluna 1 é \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}, coluna 2 é \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, coluna 3 é \begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Breve comentário didático: em geral para mudar da base canônica para \mathcal{B} formaria-se a matriz de troca cujas colunas são os b_i e faria uma conjugação; aqui calculei diretamente usando imagens dos vetores da base, que é o procedimento mais direto em provas.]
Passo 7
Decidir se T é invertível. Critério usado: T é invertível se, e somente se, sua matriz na base canônica tem determinante diferente de zero (ou equivalentemente se for injetiva/sobrejetiva). Vou calcular \det(A).
Como \det(A)=0, a matriz é singular e T não é invertível.
Complemento fácil de entender: já vimos no Passo 4 que T(b_2)=0 com b_2\neq 0, ou seja, existe vetor não-nulo no núcleo de T; isso implica que T não é injetiva e, por consequência, não é invertível.]