Aplique o processo de Gram-Schmidt para encontrar uma base ortogonal para o subespaço gerado pelos vetores v1=(1,2,1) e v2=(2,-1,3).

Passo 1

O enunciado pede uma base ortogonal do subespaço de R^3 gerado por v1=(1,2,1) e v2=(2,-1,3). O conteúdo aqui é o Processo de Gram–Schmidt, que transforma vetores linearmente independentes em vetores ortogonais, usando projeções e subtrações.

Passo 2

Definimos o primeiro vetor ortogonal como
u1 = v1 = (1,2,1).

Passo 3

Para obter u2, projetamos v2 sobre u1. Calculamos os produtos escalares:
lang<= v2,u1rang<= = 2cdot1 + (-1)cdot2 + 3cdot1 = 3
lang<= u1,u1rang<= = 1^2 + 2^2 + 1^2 = 6
Em seguida,
proju1(v2) = lang<= v2,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1 = 36,(1,2,1) = l(tfrac12,,1,,tfrac12r)

Passo 4

Subtraímos essa projeção de v2 para obter um vetor ortogonal a u1:
u2 = v2 - proju1(v2) = (2,-1,3) - l(tfrac12,,1,,tfrac12r) = l(tfrac32,,-2,,tfrac52r)
Para eliminar frações, podemos escalar por 2:
u2 = (3,-4,5).

Passo 5

Verificamos a ortogonalidade:
lang<= u1,u2rang<= = 1cdot3 + 2cdot(-4) + 1cdot5 = 0.
Logo, u1,u2 é uma base ortogonal do subespaço gerado por v1 e v2.

Resposta

Uma base ortogonal é
(1,2,1),,(3,-4,5)

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