Considere o espaço vetorial R^2 e a função lang<=cdot, cdotrang<=: R^2 times R^2 R, definida por:
lang<= u, vrang<==2 u1 v1+u2 v2,
onde u=(u1, u2) e v=(v1, v2). Verifique se lang<= u, vrang<= satisfaz as propriedades de um produto interno:

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
lang<= u,vrang<= = 2,u1v1 + u2v2,
em R^2, satisfaz as quatro propriedades de produto interno em espaço real:
  1. simetria,
  2. bilinearidade (linearidade em cada argumento),
  3. positividade ( lang<= u,urang<=>=0),
  4. definitude positiva ( lang<= u,urang<==0iff u=0).

Passo 2

Verificamos a simetria. Para quaisquer u=(u1,u2) e v=(v1,v2),
lang<= u,vrang<= = 2,u1v1 + u2v2 = 2,v1u1 + v2u2 = lang<= v,urang<=

Passo 3

Mostramos a linearidade na primeira entrada (o mesmo vale para a segunda, pois é um espaço real). Se w=(w1,w2) e alphainR, então
lang<= u+v,wrang<= =2,(u1+v1)w1+(u2+v2)w2 = l(2u1w1+u2w2r)+l(2v1w1+v2w2r) = lang<= u,wrang<= + lang<= v,wrang<=,
lang<= alpha u,vrang<= =2,(alpha u1)v1+(alpha u2)v2 =alphal(2u1v1+u2v2r) =alphalang<= u,vrang<=

Passo 4

Verificamos positividade e definitude. Para u=(u1,u2),
lang<= u,urang<= =2,u1^2+u2^2>=0,
e lang<= u,urang<==0 só ocorre se u1^2=0 e u2^2=0, ou seja, u1=0 e u2=0, isto é, u=0.

Resposta

A função lang<=cdot,cdotrang<= satisfaz todas as propriedades de simetria, bilinearidade, positividade e definitude positiva, logo é um produto interno em R^2.

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