Considere o espaço vetorial
e a função
, definida por:
onde
e
. Verifique se
satisfaz as propriedades de um produto interno:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
em
, satisfaz as quatro propriedades de produto interno em espaço real:
- simetria,
- bilinearidade (linearidade em cada argumento),
- positividade (
), - definitude positiva (
).
Passo 2
Verificamos a simetria. Para quaisquer
e
,
Passo 3
Mostramos a linearidade na primeira entrada (o mesmo vale para a segunda, pois é um espaço real). Se
e
, então
Passo 4
Verificamos positividade e definitude. Para
,
e
só ocorre se
e
, ou seja,
e
, isto é,
.
Resposta
A função
satisfaz todas as propriedades de simetria, bilinearidade, positividade e definitude positiva, logo é um produto interno em
.