Considere a transformação linear T: R^2 R^2, definida por:
T(x, y)=(3 x+4 y, 4 x+3 y)
Use os resultados para diagonalizar a matriz associada a T, onde P é matriz de mudança de base e D é a matriz diagonal.

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear TcolonR^2toR^2 dada por
T(x,y) = (3x+4y,;4x+3y)
A matriz associada no padrão canônico é
A = 3 & 4[6pt]4 & 3
Queremos diagonalizar A, ou seja, encontrar uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que
P^-1 A P = D
Para isso precisamos achar os autovalores (eigenvalues) e seus autovetores (eigenvectors).]

Passo 2

Calculemos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det!3-lambda & 4[4pt]4 & 3-lambda = (3-lambda)^2 - 4cdot4 = (3-lambda)^2 - 16
Igualando a zero,
(3-lambda)^2 = 16 Longrightarrow 3-lambda = pm4 Longrightarrow lambda1 = 3+4 = 7, lambda2 = 3-4 = -1 ]

Passo 3

Para cada autovalor achamos o respectivo autovetor resolvendo (A-lambda I)v=0.
Para lambda1 = 7:
A - 7I = 3-7 & 4[4pt]4 & 3-7 = -4 & 4[4pt]4 & -4,
daí -4x+4y=0 implica y=x. Podemos escolher
v1 = 1[4pt]1
Para lambda2 = -1:
A - (-1)I = A + I = 3+1 & 4[4pt]4 & 3+1 = 4 & 4[4pt]4 & 4,
daí 4x+4y=0 implica y=-x. Podemos escolher
v2 = 1[4pt]-1 ]

Passo 4

Formamos a matriz P cujas colunas são os autovetores ,v1 e v2, e a matriz diagonal D com os autovalores na mesma ordem:
P = 1 & 1[4pt]1 & -1, D = 7 & 0[4pt]0 & -1
Verifica-se que P é invertível (det ,P neq0) e satisfaz P^-1AP = D.]

Resposta

P = 1 & 1[4pt]1 & -1,
D = 7 & 0[4pt]0 & -1]

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