Determine se a matriz abaixo é diagonalizável. Caso seja, encontre as matrizes P e D , onde D é a matriz diagonal e P é a matriz de mudança de base:
A=[lll 5 & 4 & 2 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3 ]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A= 5 & 4 & 2 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3
é diagonalizável. O conteúdo é diagonalização de matriz através de autovalores e autovetores: vamos precisar encontrar os autovalores de A, depois para cada autovalor resolver (A-lambda I)v=0 e, por fim, montar as matrizes P (colunas formadas pelos autovetores) e D (autovalores na diagonal).

Passo 2

Como A é triangular superior, seus autovalores são exatamente os elementos da diagonal. Logo,
lambda1=5, lambda2=1, lambda3=3

Passo 3

Para resolvemos
As equações dão , e livre. Escolhemos

Passo 4

Para resolvemos
Temos e . Tomando , , , escolhemos

Passo 5

Para resolvemos
Da segunda linha vem e da primeira . Escolhendo , temos

Passo 6

Os três autovalores são distintos, portanto os três autovetores v1,v2,v3 são linearmente independentes. Logo A é diagonalizável e podemos montar
P=l[v1;v2;v3r] = 1 & 1 & -1 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1 , D= 5 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3

Resposta

A matriz A é diagonalizável e
P= 1 & 1 & -1 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1 , D= 5 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3 ,
com P^-1AP=D.

Exercícios relacionados