Aplique o processo de Gram-Schmidt para ortonormalizar as seguintes bases:
(a) B=(1,1,1),(1,0,1),(1,-1,2).
(b) B=(1,2),(-3,4)
(c) B=(1,1,-1,0),(0,2,0,1)

Passo 1

O enunciado pede para usar o processo de Gram–Schmidt para obter bases ortonormais nos espaços correspondentes a cada conjunto de vetores dados. Vamos aplicar projeções sucessivas e normalizações para transformar cada conjunto independentes em vetores mutuamente ortonormais.

Passo 2

O processo de Gram–Schmidt geral: dado um conjunto linearmente independente v1,dots,vn, definimos para k=1,dots,n:
wk ;=; vk ;-;sumj=1^k-1projuj(vk), onde projuj(vk)=vkcdot ujujcdot uj,uj,
e então normalizamos
uk=wk|wk|
Os vetores u1,dots,un formam uma base ortonormal.

Passo 3

Caso (a): B=(1,1,1),(1,0,1),(1,-1,2).
  1. v1=(1,1,1), |v1|=raiz3, logo
u1=1raiz3(1,1,1)
  1. v2=(1,0,1). Calculamos
proju1(v2) =v2cdot u1u1cdot u1,u1 =2/raiz31,u1 =23(1,1,1),
então
w2 = v2 - 23(1,1,1) =l(tfrac13,-tfrac23,tfrac13r), |w2|=raiztfrac23,
e
u2=w2|w2| =1raiz2/3l(tfrac13,-tfrac23,tfrac13r) =1raiz6(1,-2,1)
  1. v3=(1,-1,2). Projetamos sobre u1 e u2, obtemos
w3 = v3 - 23(1,1,1) - 56(1,-2,1) =l(-tfrac12,0,tfrac12r), |w3|=1raiz2,
logo
u3=w3|w3| =raiz2l(-tfrac12,0,tfrac12r) =1raiz2(-1,0,1)

Passo 4

Caso (b): B=(1,2),(-3,4).
  1. v1=(1,2), |v1|=raiz5, logo
u1=1raiz5(1,2)
  1. v2=(-3,4).
proju1(v2) =(-3,4)cdot(1,2)5(1,2) =55(1,2) =(1,2),
w2 = v2-(1,2)=(-4,2), |w2|=2raiz5,
u2=w2|w2| =12raiz5(-4,2) =1raiz5(-2,1)

Passo 5

Caso (c): B=(1,1,-1,0),(0,2,0,1).
  1. v1=(1,1,-1,0), |v1|=raiz3, logo
u1=1raiz3(1,1,-1,0)
  1. v2=(0,2,0,1).
proju1(v2) =v2cdot u1u1cdot u1,u1 =2/raiz31,u1 =23(1,1,-1,0),
w2=(0,2,0,1)-l(tfrac23,tfrac23,-tfrac23,0r) =l(-tfrac23,tfrac43,tfrac23,1r)
Note que w2=tfrac13(-2,4,2,3) e
|w2| =raizl(-tfrac23r)^2+l(tfrac43r)^2+l(tfrac23r)^2+1^2 =raiz333,
logo
u2=w2|w2| =13(-2,4,2,3)raiz333 =1raiz33(-2,4,2,3)

Resposta

(a) ltfrac1raiz3(1,1,1),;tfrac1raiz6(1,-2,1),;tfrac1raiz2(-1,0,1)r
(b) ltfrac1raiz5(1,2),;tfrac1raiz5(-2,1)r
(c) ltfrac1raiz3(1,1,-1,0),;tfrac1raiz33(-2,4,2,3)r

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