Sejam u=(1,3,-2,1) e v=(2,0,-1,4) vetores de R^4. Determine os escalares a e b tais que:
(a) a u+b v=(8,6,-7,14)
(b) a u+b v=(-3,3,4,-7)

Passo 1

O enunciado dá os vetores
u=(1,3,-2,1) e v=(2,0,-1,4) em R^4 e pede, para dois vetores-alvo diferentes, os escalares a e b tais que
a,u+b,v=(w1,w2,w3,w4)
O conteúdo aqui é combinação linear e para resolver vamos igualar componente a componente, obtendo um sistema de 4 equações em 2 incógnitas e verificar consistência.

Passo 2

Em geral, para a,u+b,v=(w1,w2,w3,w4) obtemos o sistema
a + 2b = w1, 3a = w2, -2a - b = w3, a + 4b = w4

Passo 3

(a) No caso (w1,w2,w3,w4)=(8,6,-7,14):
Pela segunda equação 3a=6, logo
a = 2
Substituindo na primeira 2 + 2b = 8, vem
2b = 6Rightarrow b = 3
Verificando a terceira: -2cdot2 - 1cdot3 = -4 -3 = -7 e a quarta: 2 + 4cdot3 = 14. Tudo coincide.

Passo 4

(b) No caso (w1,w2,w3,w4)=(-3,3,4,-7):
De novo, da segunda equação 3a=3 resulta
a = 1
Na primeira 1 + 2b = -3
2b = -4Rightarrow b = -2
Mas ao verificar a terceira equação temos
-2cdot1 - (-2) = -2 + 2 = 0 neq 4,
logo o sistema é inconsistente e não há solução.

Resposta

(a) a=2,;b=3
(b) Não existe nenhum par (a,b) que satisfaça a equação.

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