Discuta a posição relativa dos pares de retas.
(a)
e r2:lx=5-2 s y=2+4 s z=1+2 s
(b) r1:lx=1+2 t y=-3-t z=t
e r2: 2 x-13=y+1=3 z
(c) r1:lx=2+t y=4-2 t z=1+3 t e r2:lx=-1+4 s y=3-s z=2+2 s
Passo 1
O enunciado apresenta três pares de retas em R^3 e pede para discutir sua posição relativa: se são paralelas (coincidentes ou não), concorrentes (intersectam‐se) ou reversas (nem paralelas nem concorrentes). Para isso usaremos geometria analítica de retas, extraindo pontos e vetores diretores, testando proporcionalidade para paralelismo e resolvendo sistemas paramétricos para verificar interseção.
Passo 2
Para o item (a) extraímos
– ponto P1=(2,3,1) e vetor diretor v1 =(-1,2,1) de
r1: x=2-t,;y=3+2t,;z=1+t,
– ponto P2=(5,2,1) e vetor diretor v2 =(-2,4,2) de
r2: x=5-2s,;y=2+4s,;z=1+2s
Verificamos que
v2 = 2, v1,
logo as retas são paralelas (ou coincidentes).
Passo 3
Para saber se são coincidentes, checamos se P2 pertence a r1. Da equação
5 = 2 - t
vem t=-3, mas isso daria y=3+2(-3)=-3neq 2. Logo não há solução comum, e as retas são paralelas distintas (não coincidentes).
Passo 4
No item (b) temos
r1:;P1=(1,-3,0),; v1=(2,-1,1),
e a reta
r2:;2x-13=y+1=3z=lambda
pode ser reparametrizada como
x=3lambda+12,;y=lambda-1,;z=lambda3,
dando P2=(tfrac12,-1,0) (quando lambda=0) e v2=(tfrac32,1,tfrac13). Como v1 não é múltiplo escalar de v2, não são paralelas.