Discuta a posição relativa dos pares de retas.
(a) r1:lx=2-t y=3+2 t z=1+t
e r2:lx=5-2 s y=2+4 s z=1+2 s
(b) r1:lx=1+2 t y=-3-t z=t
e r2: 2 x-13=y+1=3 z
(c) r1:lx=2+t y=4-2 t z=1+3 t
e r2:lx=-1+4 s y=3-s z=2+2 s

Passo 1

O enunciado apresenta três pares de retas em R^3 e pede para discutir sua posição relativa: se são paralelas (coincidentes ou não), concorrentes (intersectam‐se) ou reversas (nem paralelas nem concorrentes). Para isso usaremos geometria analítica de retas, extraindo pontos e vetores diretores, testando proporcionalidade para paralelismo e resolvendo sistemas paramétricos para verificar interseção.

Passo 2

Para o item (a) extraímos
– ponto P1=(2,3,1) e vetor diretor v1 =(-1,2,1) de
r1: x=2-t,;y=3+2t,;z=1+t,
– ponto P2=(5,2,1) e vetor diretor v2 =(-2,4,2) de
r2: x=5-2s,;y=2+4s,;z=1+2s
Verificamos que
v2 = 2, v1,
logo as retas são paralelas (ou coincidentes).

Passo 3

Para saber se são coincidentes, checamos se P2 pertence a r1. Da equação
5 = 2 - t
vem t=-3, mas isso daria y=3+2(-3)=-3neq 2. Logo não há solução comum, e as retas são paralelas distintas (não coincidentes).

Passo 4

No item (b) temos
r1:;P1=(1,-3,0),; v1=(2,-1,1),
e a reta
r2:;2x-13=y+1=3z=lambda
pode ser reparametrizada como
x=3lambda+12,;y=lambda-1,;z=lambda3,
dando P2=(tfrac12,-1,0) (quando lambda=0) e v2=(tfrac32,1,tfrac13). Como v1 não é múltiplo escalar de v2, não são paralelas.

Passo 5

Para ver se intersectam, igualamos
1+2t=tfrac3lambda+12, -3-t=lambda-1, t=tfraclambda3
Das duas últimas vem lambda=3t e -3-t=3t-1 implies 4t=-2 implies t=-tfrac12, lambda=-tfrac32. Mas então
1+2l(-tfrac12r)=0neq tfrac3(-tfrac32)+12=-tfrac74,
ou seja, não há solução comum. Logo são retas reversas.

Passo 6

No item (c) extraímos
r1:;P1=(2,4,1),; v1=(1,-2,3),
r2:;P2=(-1,3,2),; v2=(4,-1,2)
Como v1 não é proporcional a v2, não são paralelas. Procuramos interseção resolvendo
2+t=-1+4s, 4-2t=3-s, 1+3t=2+2s
Da segunda vem 4-2t=3-s implies s=1+2t. Substituindo na primeira:
2+t=-1+4(1+2t)implies 2+t=-1+4+8timplies 7t=-1implies t=1
Então s=1+2cdot1=3 e da terceira: 1+3cdot1=4, 2+2cdot3=8, temos conflito! Refaço: da segunda corretamente
4-2t=3-simplies s=3-4+2t=2t-1
Na primeira
2+t=-1+4(2t-1)implies 2+t=-1+8t-4implies 7t=7implies t=1,;s=2cdot1-1=1
Na terceira 1+3cdot1=4 e 2+2cdot1=4, consistente. Logo há interseção em
(2+1,;4-2,;1+3)=(3,2,4)

Resposta

(a) Paralelas distintas.
(b) Reversas (nem paralelas nem concorrentes).
(c) Concorrentes: intersectam-se em (3,2,4).

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