Em cada item, determine se o conjunto de vetores apresentado gera R^3.
(c) u=(1,2,-1), v=(1,3,0) e w=(-2,0,0).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de vetores
u=(1,2,-1), v=(1,3,0) e w=(-2,0,0) gera R^3.
O conteúdo que vamos usar é que três vetores em R^3 geram todo o espaço se, e somente se, formarem uma matriz invertível (determinante não nulo).

Passo 2

Colocamos os vetores como colunas de uma matriz A:
A = 1 & 1 & -2 2 & 3 & 0 -1 & 0 & 0

Passo 3

Calculamos o determinante de A por expansão na primeira linha:
det(A) = 1 cdot det!3&00&0 - 1 cdot det!2&0-1&0 +(-2)cdot det!2&3-1&0
Agora,
det3&00&0=0, det2&0-1&0=0,
det2&3-1&0 =2cdot0 - (-1)cdot3 = 3
Portanto,
det(A) = 0 - 0 + (-2)cdot 3 = -6 neq 0

Passo 4

Como det(A)neq 0, a matriz A é invertível, o que implica que u,v,w são linearmente independentes e, consequentemente, geram todo R^3.

Resposta

Sim, o conjunto u,v,w gera R^3.

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