Seja A=[lll1 & 2 & 3 0 & 1 & 1 2 & 1 & 2]. Encontre uma matriz invertível P tal que P^-1 A P seja diagonal.

Passo 1

O enunciado pede a diagonalização da matriz
A = 1 & 2 & 3[6pt]0 & 1 & 1[6pt]2 & 1 & 2
ou seja, encontrar uma matriz invertível P tal que
P^-1 A P = diag(lambda1,lambda2,lambda3),
O conteúdo necessário é o cálculo do polinômio característico, das raízes (autovalores) lambdai e dos autovetores correspondentes.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico
det(A - lambda I) = 1-lambda & 2 & 3[3pt]0 & 1-lambda & 1[3pt]2 & 1 & 2-lambda = -lambda^3 +4lambda^2 +2lambda -1,
Multiplicando por -1, obtemos
lambda^3 ;-;4lambda^2 ;-;2lambda ;+;1 ;=;0,
Chamemos de lambda1,lambda2,lambda3 as três raízes reais deste polinômio.]

Passo 3

Para cada autovalor
Da segunda equação vem
Substituindo na primeira, obtém-se
Escolhendo (y=1] para fixar escala, um autovetor genérico é
]

Passo 4

Para cada raiz lambdai definimos
vi = v(lambdai) = dfrac3lambdai -1lambdai -1[6pt] 1[3pt] lambdai -1
Então a matriz cujas colunas são esses autovetores
P = l[v1;v2;v3r]
é invertível e diagonaliza A, i.e.
P^-1 A P = diag(lambda1,lambda2,lambda3) ]

Resposta

Uma escolha conveniente é
P = dfrac3lambda1 -1lambda1 -1 & dfrac3lambda2 -1lambda2 -1 & dfrac3lambda3 -1lambda3 -1[8pt] 1 & 1 & 1[3pt] lambda1 -1 & lambda2 -1 & lambda3 -1 ,
once lambda1,lambda2,lambda3 são as raízes de
lambda^3 -4lambda^2 -2lambda +1=0.
Este P satisfaz
P^-1 A P = lambda1&0&00&lambda2&00&0&lambda3 ]

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