Aplique o processo de Gram-Schmidt nos seguintes conjuntos de vetores
.
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e pede para aplicar o processo de Gram–Schmidt a esse conjunto. Vou trabalhar no espaço euclidiano
com o produto interno padrão
.
Objetivo final: obter um conjunto ortogonal (e, se desejado, ortonormal) gerando o mesmo subespaço que .
Objetivo final: obter um conjunto ortogonal (e, se desejado, ortonormal) gerando o mesmo subespaço que
Passo 2
Explicando o método (a regra do jogo):
- Gram–Schmidt gera vetores ortogonais
a partir dos por:
onde a projeção de
sobre
é
- Depois, se quisermos uma base ortonormal, normalizamos cada
definindo
Vou calcular cada produto interno explicitamente e executar as subtrações passo a passo. Não pula a conta — é exatamente o que aparece na prova.
Passo 3
Começando pelo primeiro vetor:
Calculo o quadrado da norma (produto interno consigo mesmo) para usar nas projeções:
Passo 4
Agora o segundo vetor:
- Calcular
:
- Projeção de
sobre :
- Subtrai para obter
:
Verificação rápida de ortogonalidade com
:
logo
é ortogonal a
. Também calculo
para usar em seguida:
Passo 5
Agora o terceiro vetor:
- Calcular
:
logo
.
- Calcular
:
- Projeção de
sobre :
- Subtrai para obter
:
Verificações:
Ambas são zero, logo
é ortogonal a
e
. Também calcule a norma ao final se precisar normalizar:
Passo 6
Para ficar com vetores inteiros e mais legíveis, é comum multiplicar cada
por escalares não nulos (isso preserva ortogonalidade). Tomando:
Esses vetores são mutuamente ortogonais (verificável por produto interno). Normas ao quadrado:
Passo 7
Se quiser a base ortonormal, normalizamos
:
Pronto —
é ortonormal e
é uma base ortogonal do mesmo subespaço gerado pelos
.