Aplique o processo de Gram-Schmidt nos seguintes conjuntos de vetores
v_{1}=(1,-1,0,0)^{T} ; \quad v_{2}=(0,1,-1,0)^{T} ; \quad v_{3}=(0,0,1,-1)^{T}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
v_{1}=(1,-1,0,0)^{T},\qquad v_{2}=(0,1,-1,0)^{T},\qquad v_{3}=(0,0,1,-1)^{T},
e pede para aplicar o processo de Gram–Schmidt a esse conjunto. Vou trabalhar no espaço euclidiano \mathbb{R}^{4} com o produto interno padrão \langle x,y\rangle=\sum_{i=1}^{4} x_i y_i.
Objetivo final: obter um conjunto ortogonal (e, se desejado, ortonormal) gerando o mesmo subespaço que \{v_1,v_2,v_3\}.

Passo 2

Explicando o método (a regra do jogo):
  • Gram–Schmidt gera vetores ortogonais u_1,u_2,u_3 a partir dos v_i por:
u_1 = v_1, \qquad u_k = v_k - \sum_{j=1}^{k-1}\operatorname{proj}_{u_j} v_k\quad (k\ge2),
onde a projeção de v sobre u é
\operatorname{proj}_{u} v = \frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,u.
  • Depois, se quisermos uma base ortonormal, normalizamos cada u_i definindo
e_i=\frac{u_i}{\|u_i\|},\qquad \|u_i\|=\sqrt{\langle u_i,u_i\rangle}.
Vou calcular cada produto interno explicitamente e executar as subtrações passo a passo. Não pula a conta — é exatamente o que aparece na prova.

Passo 3

Começando pelo primeiro vetor:
u_1 = v_1 = (1,-1,0,0)^{T}.
Calculo o quadrado da norma (produto interno consigo mesmo) para usar nas projeções:
\langle u_1,u_1\rangle = 1^2+(-1)^2+0^2+0^2 = 2.

Passo 4

Agora o segundo vetor:
  1. Calcular \langle v_2,u_1\rangle:
\langle v_2,u_1\rangle = 0\cdot1 + 1\cdot(-1) + (-1)\cdot0 + 0\cdot0 = -1.
  1. Projeção de v_2 sobre u_1:
\operatorname{proj}_{u_1} v_2 = \frac{\langle v_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}\,u_1 = \frac{-1}{2}\,u_1 = \left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},0,0\right)^{T}.
  1. Subtrai para obter u_2:
u_2 = v_2 - \operatorname{proj}_{u_1} v_2 = \left(0,1,-1,0\right)^{T} - \left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},0,0\right)^{T} = \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},-1,0\right)^{T}.
Verificação rápida de ortogonalidade com u_1:
\langle u_1,u_2\rangle = 1\cdot\tfrac{1}{2} + (-1)\cdot\tfrac{1}{2} + 0\cdot(-1)+0\cdot0 = 0,
logo u_2 é ortogonal a u_1. Também calculo \langle u_2,u_2\rangle para usar em seguida:
\langle u_2,u_2\rangle = \left(\tfrac{1}{2}\right)^2+\left(\tfrac{1}{2}\right)^2+(-1)^2+0^2=\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}+1=\tfrac{3}{2}.

Passo 5

Agora o terceiro vetor:
  1. Calcular \langle v_3,u_1\rangle:
\langle v_3,u_1\rangle = 0\cdot1 + 0\cdot(-1) + 1\cdot0 + (-1)\cdot0 = 0,
logo \operatorname{proj}_{u_1} v_3 = 0.
  1. Calcular \langle v_3,u_2\rangle:
\langle v_3,u_2\rangle = 0\cdot\tfrac{1}{2} + 0\cdot\tfrac{1}{2} + 1\cdot(-1) + (-1)\cdot0 = -1.
  1. Projeção de v_3 sobre u_2:
\operatorname{proj}_{u_2} v_3 = \frac{\langle v_3,u_2\rangle}{\langle u_2,u_2\rangle}\,u_2 = \frac{-1}{3/2}\,u_2 = -\tfrac{2}{3}\,u_2 = -\tfrac{2}{3}\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},-1,0\right)^{T} = \left(-\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3},0\right)^{T}.
  1. Subtrai para obter u_3:
u_3 = v_3 - \operatorname{proj}_{u_2} v_3 = \left(0,0,1,-1\right)^{T} - \left(-\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3},0\right)^{T} = \left(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3},-1\right)^{T}.
Verificações:
\langle u_1,u_3\rangle = 1\cdot\tfrac{1}{3} + (-1)\cdot\tfrac{1}{3} + 0\cdot\tfrac{1}{3}+0\cdot(-1)=0,
\langle u_2,u_3\rangle = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{3}+(-1)\cdot\tfrac{1}{3}+0\cdot(-1)=0.
Ambas são zero, logo u_3 é ortogonal a u_1 e u_2. Também calcule a norma ao final se precisar normalizar:
\langle u_3,u_3\rangle = \left(\tfrac{1}{3}\right)^2+\left(\tfrac{1}{3}\right)^2+\left(\tfrac{1}{3}\right)^2+(-1)^2 = \tfrac{1}{3}+1=\tfrac{4}{3}.

Passo 6

Para ficar com vetores inteiros e mais legíveis, é comum multiplicar cada u_i por escalares não nulos (isso preserva ortogonalidade). Tomando:
\tilde u_1 = u_1 = (1,-1,0,0)^{T}, \qquad \tilde u_2 = 2u_2 = (1,1,-2,0)^{T}, \qquad \tilde u_3 = 3u_3 = (1,1,1,-3)^{T}.
Esses vetores são mutuamente ortogonais (verificável por produto interno). Normas ao quadrado:
\langle \tilde u_1,\tilde u_1\rangle = 2,\quad \langle \tilde u_2,\tilde u_2\rangle = 6,\quad \langle \tilde u_3,\tilde u_3\rangle = 12.

Passo 7

Se quiser a base ortonormal, normalizamos \tilde u_i:
e_1=\frac{\tilde u_1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0,0)^{T}, \qquad e_2=\frac{\tilde u_2}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2,0)^{T}, \qquad e_3=\frac{\tilde u_3}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}(1,1,1,-3)^{T}.
Pronto — \{e_1,e_2,e_3\} é ortonormal e \{\tilde u_1,\tilde u_2,\tilde u_3\} é uma base ortogonal do mesmo subespaço gerado pelos v_i.

Resposta

\text{Base ortogonal: }\; u_1=(1,-1,0,0)^{T},\; u_2=(1,1,-2,0)^{T},\; u_3=(1,1,1,-3)^{T}
\text{Base ortonormal: }\; e_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0,0)^{T},\; e_2=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2,0)^{T},\; e_3=\frac{1}{2\sqrt{3}}(1,1,1,-3)^{T}

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