Aplique o processo de Gram-Schmidt para transformar a base dada de
em uma base ortonormal:
.
Passo 1
O enunciado dá a base
em
(aqui
) e pede para transformar essa base em uma base ortonormal.
Ou seja, preciso produzir dois vetores e
tais que:
Ou seja, preciso produzir dois vetores
- cada
tenha norma (vetores unitários); -
e sejam ortogonais entre si ( ); - o espaço gerado por
seja o mesmo que o gerado por .
Os vetores fornecidos são:
Passo 2
Vou usar o processo de Gram–Schmidt. Antes de aplicar, explico as fórmulas e ideias de forma bem didática.
Produto interno (produto escalar) em
: para
e
,
Norma
(comprimento) é
Projeção de
sobre
(com
) é dada por
Isso dá a componente de
na direção de
.
Gram–Schmidt (passo a passo): dados
,
para
,
No nosso caso só há dois vetores, então só precisamos computar
.
Passo 3
Calcular
e normalizar para obter
.
Tomamos
Calcular a norma:
Normalizando,
Comentário amigo: esse é um caso clássico,
tem norma
, então fica fácil.
Passo 4
Projetar
sobre
para remover a componente na direção de
.
Calcular o produto escalar
:
Calcular
:
Logo a projeção é
Passo 5
Subtrair a projeção para obter
(a parte de
ortogonal a
).
Calcular cada componente:
Portanto
Passo 6
Calcular a norma de
e normalizar para obter
.
Primeiro a norma:
Agora normalizar:
Dividir por
equivale a multiplicar por
:
Passo 7
Verificações rápidas (para ficar tranquilo):
- Norma de
:
- Norma de
:
- Produto escalar (ortogonalidade):
Tudo confere: são unitários e ortogonais.