Aplique o processo de Gram-Schmidt para transformar a base dada de \mathbb{R}^{n} em uma base ortonormal:
B=\{(3,4),(1,0)\}.

Passo 1

O enunciado dá a base
B=\{(3,4),(1,0)\}
em \mathbb{R}^n (aqui n=2) e pede para transformar essa base em uma base ortonormal.
Ou seja, preciso produzir dois vetores \mathbf{e}_1 e \mathbf{e}_2 tais que:
  • cada \mathbf{e}_i tenha norma 1 (vetores unitários);
  • \mathbf{e}_1 e \mathbf{e}_2 sejam ortogonais entre si ( \mathbf{e}_1\cdot\mathbf{e}_2=0);
  • o espaço gerado por \{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\} seja o mesmo que o gerado por B.
Os vetores fornecidos são:
\mathbf{v}_1=(3,4),\qquad \mathbf{v}_2=(1,0).

Passo 2

Vou usar o processo de Gram–Schmidt. Antes de aplicar, explico as fórmulas e ideias de forma bem didática.
Produto interno (produto escalar) em \mathbb{R}^2: para \mathbf{a}=(a_1,a_2) e \mathbf{b}=(b_1,b_2),
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2.
Norma \|\mathbf{a}\| (comprimento) é
\|\mathbf{a}\|=\sqrt{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}=\sqrt{a_1^2+a_2^2}.
Projeção de \mathbf{v} sobre \mathbf{u} (com \mathbf{u}\neq \mathbf{0}) é dada por
\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v})=\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}}{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}}\,\mathbf{u}.
Isso dá a componente de \mathbf{v} na direção de \mathbf{u}.
Gram–Schmidt (passo a passo): dados \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots,
\mathbf{u}_1=\mathbf{v}_1,\qquad \mathbf{e}_1=\frac{\mathbf{u}_1}{\|\mathbf{u}_1\|},
para k\ge2,
\mathbf{u}_k=\mathbf{v}_k-\sum_{j=1}^{k-1}\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_j}(\mathbf{v}_k), \qquad \mathbf{e}_k=\frac{\mathbf{u}_k}{\|\mathbf{u}_k\|}.
No nosso caso só há dois vetores, então só precisamos computar \mathbf{u}_1,\mathbf{e}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{e}_2.

Passo 3

Calcular \mathbf{u}_1 e normalizar para obter \mathbf{e}_1.
Tomamos
\mathbf{u}_1=\mathbf{v}_1=(3,4).
Calcular a norma:
\|\mathbf{u}_1\|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
Normalizando,
\mathbf{e}_1=\frac{\mathbf{u}_1}{\|\mathbf{u}_1\|=\;5}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right).
Comentário amigo: esse é um caso clássico, (3,4) tem norma 5, então fica fácil.

Passo 4

Projetar \mathbf{v}_2 sobre \mathbf{u}_1 para remover a componente na direção de \mathbf{u}_1.
Calcular o produto escalar \mathbf{v}_2\cdot\mathbf{u}_1:
\mathbf{v}_2\cdot\mathbf{u}_1=(1,0)\cdot(3,4)=1\cdot3+0\cdot4=3.
Calcular \mathbf{u}_1\cdot\mathbf{u}_1:
\mathbf{u}_1\cdot\mathbf{u}_1=3^2+4^2=25.
Logo a projeção é
\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{v}_2)=\frac{3}{25}\,\mathbf{u}_1=\frac{3}{25}(3,4)=\left(\frac{9}{25},\frac{12}{25}\right).

Passo 5

Subtrair a projeção para obter \mathbf{u}_2 (a parte de \mathbf{v}_2 ortogonal a \mathbf{u}_1).
\mathbf{u}_2=\mathbf{v}_2-\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{v}_2) =(1,0)-\left(\frac{9}{25},\frac{12}{25}\right) =\left(1-\frac{9}{25},\,0-\frac{12}{25}\right).
Calcular cada componente:
1-\frac{9}{25}=\frac{25-9}{25}=\frac{16}{25},\qquad 0-\frac{12}{25}=-\frac{12}{25}.
Portanto
\mathbf{u}_2=\left(\frac{16}{25},-\frac{12}{25}\right)=\frac{1}{25}(16,-12).

Passo 6

Calcular a norma de \mathbf{u}_2 e normalizar para obter \mathbf{e}_2.
Primeiro a norma:
\|\mathbf{u}_2\|=\sqrt{\left(\frac{16}{25}\right)^2+\left(-\frac{12}{25}\right)^2} =\sqrt{\frac{256}{625}+\frac{144}{625}} =\sqrt{\frac{400}{625}}=\sqrt{\frac{400}{625}}=\frac{20}{25}=\frac{4}{5}.
Agora normalizar:
\mathbf{e}_2=\frac{\mathbf{u}_2}{\|\mathbf{u}_2\|}= \frac{\left(\frac{16}{25},-\frac{12}{25}\right)}{\frac{4}{5}}.
Dividir por \tfrac{4}{5} equivale a multiplicar por \tfrac{5}{4}:
\mathbf{e}_2=\left(\frac{16}{25}\cdot\frac{5}{4},\;-\frac{12}{25}\cdot\frac{5}{4}\right) =\left(\frac{16\cdot5}{25\cdot4},\;-\frac{12\cdot5}{25\cdot4}\right) =\left(\frac{80}{100},-\frac{60}{100}\right) =\left(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right).

Passo 7

Verificações rápidas (para ficar tranquilo):
  • Norma de \mathbf{e}_1:
\left\|\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)\right\|=\sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(\frac{4}{5}\right)^2} =\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{25}{25}}=1.
  • Norma de \mathbf{e}_2:
\left\|\left(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right)\right\| =\sqrt{\frac{16}{25}+\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{25}{25}}=1.
  • Produto escalar (ortogonalidade):
\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)\cdot\left(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right) =\frac{12}{25}-\frac{12}{25}=0.
Tudo confere: são unitários e ortogonais.

Resposta

\left(\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5}\right)
\left(\dfrac{4}{5},-\dfrac{3}{5}\right)

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