Aplique o processo de Gram-Schmidt nos vetores v1=(1,1,0), v2=(1,-1,1) e v3=(0,1,1) para obter uma base ortonormal de R^3 em relação ao produto interno usual.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o processo de Gram–Schmidt aos vetores
v1=(1,1,0), v2=(1,-1,1) e v3=(0,1,1)
e obter uma base ortonormal de R^3 com o produto interno usual.
Para isso, vamos construir vetores u1,u2,u3 ortogonais e depois normalizá-los.

Passo 2

Começamos com
u1 = v1 = (1,1,0)
O seu comprimento é
|u1| = raiz1^2 + 1^2 + 0^2 = raiz2,
logo o primeiro vetor ortonormal é
e1 = u1|u1| = 1raiz2(1,1,0)

Passo 3

Agora definimos
u2 = v2 - proju1(v2),
onde
proju1(v2) = lang<= v2,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1
Calculamos o produto interno lang<= v2,u1rang<= = 1cdot1+(-1)cdot1+1cdot0 = 0.
Como lang<= u1,u1rang<==2, a projeção é zero e
u2 = v2 = (1,-1,1)
O seu comprimento é
|u2| = raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz3,
então
e2 = u2|u2| = 1raiz3(1,-1,1)

Passo 4

Finalmente,
u3 = v3 - proju1(v3) - proju2(v3)
Calculamos
lang<= v3,u1rang<= = 0cdot1 + 1cdot1 + 1cdot0 = 1, logo
proju1(v3) = 12(1,1,0) = l(tfrac12,tfrac12,0r)
E
lang<= v3,u2rang<= = 0cdot1 + 1cdot(-1) + 1cdot1 = 0, então essa projeção é zero.
Assim
u3 = (0,1,1) - l(tfrac12,tfrac12,0r) = l(-tfrac12,tfrac12,1r)
O comprimento de u3 é
|u3| = raizl(-tfrac12r)^2 + l(tfrac12r)^2 + 1^2 = raiztfrac14 + tfrac14 + 1 = raiztfrac32 = raiz62
Portanto
e3 = u3|u3| = 2raiz6l(-tfrac12,tfrac12,1r) = 1raiz6(-1,1,2)

Resposta

Uma base ortonormal obtida é
e1 = 1raiz2(1,1,0), e2 = 1raiz3(1,-1,1), e3 = 1raiz6(-1,1,2)

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