Considere o espaço vetorial P2(R), com o produto interno definido por
lang<= p, qrang<==integral0^1 p(x) q(x) d x
Determine a norma de p(x)=1+x e responda se p(x) é unitário. Caso não seja, normalize-o.

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial P2(R) de polinômios de grau no máximo 2, equipado com o produto interno
lang<= p,qrang<= = integral0^1 p(x),q(x),dx
Pede-se a norma de p(x)=1+x e verificar se esse polinômio é unitário. Se não for, devemos normalizá-lo. Para isso, vamos usar que a norma associada é
|p| = raizlang<= p,prang<=

Passo 2

Calculamos primeiro lang<= p,prang<=, isto é
lang<= p,prang<= ;=;integral0^1(1+x)^2,dx

Passo 3

Expandindo o integrando e integrando termo a termo, temos
(1+x)^2 = 1 + 2x + x^2,
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integral0^1(1+2x+x^2),dx = l[x + x^2 + tfracx^33r]0^1 = 1 + 1 + tfrac13 = tfrac73

Passo 4

Portanto
|p| = raizlang<= p,prang<= = raiztfrac73
Como raiztfrac73neq 1, o polinômio p(x)=1+x não é unitário.

Passo 5

Para normalizar, definimos
widehat p(x) = p(x)|p| = 1+xraiz7/3 = raiztfrac37,(1+x),
que satisfaz |widehat p|=1.

Resposta

A norma de p(x)=1+x é
|p| = raiztfrac73,
portanto p não é unitário. A forma normalizada é
widehat p(x) = raiztfrac37,(1+x)

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