Seja V=M2 times 2 o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 2 com o produto interno definido por
lang<=[ll a & b c & d ],[ll e & f g & h ]rang<==a e+2 b f+3 c g+d h
b) Determine x de modo que o ângulo entre [rr1 & -1 2 & 1] e [rr1 & -1 2 & x] seja pi / 2.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=M2times2 com o produto interno
llang<= a & b c & d,e & f g & hrrang<= =ae+2,bf+3,cg+dh
e pede x tal que o ângulo entre
A=1 & -12 & 1 e B=1 & -12 & x
seja pi/2. Para isso, usaremos a condição de ortogonalidade em espaços com produto interno.

Passo 2

Em qualquer espaço com produto interno, o ângulo theta entre dois vetores satisfaz
costheta=lang<= A,Brang<=|A||B|
Quando theta=pi/2, tem-se costheta=0, logo
lang<= A,Brang<==0

Passo 3

Vamos calcular lang<= A,Brang<=. Substituindo as entradas de A e B na definição:
lang<= A,Brang<= =1cdot1 ;+;2cdot(-1)cdot(-1);+;3cdot2cdot2;+;1cdot x =1+2+12+x=15+x

Passo 4

Impondo lang<= A,Brang<==0 obtemos
15+x=0 Longrightarrow x=-15

Resposta

x=-15

Exercícios relacionados