Determine os valores de a in R para que os polinômios p(x)=1+x e q(x)=1+a x sejam ortogonais no espaço P2(R) com o produto interno
lang<= p, qrang<==integral-1^1 p(x) q(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os valores de ainR tais que os polinômios
,p(x)=1+x e ,q(x)=1+a x
sejam ortogonais em ,P2(R) equipado com o produto interno
lang<= p,qrang<= = integral-1^1 p(x),q(x),dx
Em outras palavras, queremos
integral-1^1(1+x)(1+a x),dx = 0

Passo 2

Primeiro expandimos o produto dentro da integral:
(1+x)(1+a x) = 1 + (1+a)x + a x^2

Passo 3

Agora calculamos a integral termo a termo:
integral-1^11,dx = 2, integral-1^1(1+a)x,dx = (1+a)integral-1^1x,dx = 0, integral-1^1a x^2,dx = aintegral-1^1x^2,dx = acdot23
Portanto
integral-1^1(1+x)(1+a x),dx = 2 + 0 + 2a3 = 2 + 2a3

Passo 4

Para que haja ortogonalidade, impomos
2 + 2a3 = 0
e resolvemos para a:
2a3 = -2 Longrightarrow a = -3

Resposta

a = -3

Exercícios relacionados