Nos conjuntos a seguir, identifique aqueles que são base do espaço vetorial mencionado, e aqueles que não são. Justifique.
A=(2,3),(0,1) base de R^2 ?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto A=(2,3),(0,1) é uma base de R^2. Para isso, precisamos checar duas condições: (i) independência linear dos vetores e (ii) se eles geram todo R^2.

Passo 2

Testamos a independência linear. Suponha que existam escalares
Isso dá o sistema
Da primeira equação obtemos . Logo, só a combinação trivial anula os vetores, ou seja, eles são linearmente independentes.

Passo 3

Para ver que geram R^2, tomemos um vetor genérico (x,y)inR^2 e tentemos escrevê-lo como combinação linear:
(x,y) = alpha(2,3) + beta(0,1)
Isso exige
x = 2alpha, y = 3alpha + beta
Basta escolher alpha = x/2 e beta = y - 3(x/2), mostrando que qualquer (x,y) é gerado por esses vetores. Alternativamente, como o determinante da matriz cujas colunas são (2,3) e (0,1) é
det2 & 0 [6pt] 3 & 1 = 2cdot1 - 0cdot3 = 2 neq 0,
concluímos que o conjunto tem posto 2, igual à dimensão de R^2.
]

Resposta

Sim. A=(2,3),(0,1) é base de R^2 porque seus vetores são linearmente independentes e geram todo o espaço.

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