Aplique o processo de ortogonalização de Gram Schmdit para obter uma base ortogonal de R^3, a partir da base (1,-1,0) ;(1,0,-1) ;(0,1,-1).

Passo 1

Resumindo: queremos aplicar o processo de Gram–Schmidt em R^3 à família
v1 = (1,-1,0), v2 = (1,0,-1), v3=(0,1,-1)
para produzir vetores ortogonais u1,u2,u3. Lembra que, em cada passo, subtraímos de vk as projeções em u1,dots,uk-1.

Passo 2

Definimos
u1 = v1 = (1,-1,0)

Passo 3

Para u2 calculamos
proju1(v2) = lang<= v2,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1 = 12,(1,-1,0) =(tfrac12,-tfrac12,0),
pois lang<= v2,u1rang<==1 e lang<= u1,u1rang<==2. Logo
u2 = v2 - proju1(v2) = (1,0,-1) - (tfrac12,-tfrac12,0) =(tfrac12,tfrac12,-1)

Passo 4

Para u3 subtraímos as projeções em u1 e u2:
proju1(v3) = lang<= v3,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1 = -12,(1,-1,0) =(-tfrac12,tfrac12,0),
proju2(v3) = lang<= v3,u2rang<=lang<= u2,u2rang<=,u2 = 1cdot(tfrac12,tfrac12,-1) =(tfrac12,tfrac12,-1),
pois lang<= v3,u2rang<==3/2 e lang<= u2,u2rang<==3/2. Então
u3 = v3 - proju1(v3) - proju2(v3) = (0,1,-1) -l(-tfrac12,tfrac12,0r)-(tfrac12,tfrac12,-1) = (0,0,0)

Passo 5

O vetor u3 saiu nulo, o que significa que v1,v2,v3 são linearmente dependentes. Logo não se obtém três vetores não-nulos ortogonais: a família original não é base de R^3, mas sim de um subespaço de dimensão 2.

Resposta

Gram–Schmidt produz apenas dois vetores ortogonais não nulos, por exemplo
u1=(1,-1,0), u2=(tfrac12,tfrac12,-1),
e u3=0, mostrando que a família inicial é linearmente dependente e não gera uma base de R^3.

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