Considerando a transformação T: R^3 R^3, definida por
T(x, y, z)=(x+y+z, x-y, 2 x+z)
Responda se T é sobrejetiva e justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z)=(x+y+z,;x-y,;2x+z)
Queremos saber se T é sobrejetiva. Na teoria de transformações lineares, T é sobrejetiva se, e somente se, o posto da matriz associada a T (na base canônica) for igual a 3, a dimensão do contradomínio.

Passo 2

Para obter a matriz A de T nas bases canônicas, aplicamos T aos vetores (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). Isso gera as colunas de
A = 1 & 1 & 1 1 & -1 & 0 2 & 0 & 1

Passo 3

Calculamos o determinante de A para verificar se o posto é 3:
det(A) = 1cdotdet!-1&00&1 -1cdotdet!1&02&1 +1cdotdet!1&-12&0 = (-1) - (1) + (2) = 0

Passo 4

Como det(A)=0, temos posto(A)<3. De fato, nota-se que a terceira coluna é combinação linear das duas primeiras:
101 = tfrac12112 + tfrac121-10,
ou, equivalentemente, escrevendo (u,v,w)=T(x,y,z), obtemos
v=x-y, u=x+y+z, w=2x+z,
de onde
w = 2x+z = (x+y+z)+(x-y) = u+v,
mostrando que a imagem de T é o plano w=u+v, de dimensão 2.

Passo 5

Como posto(A)=2<3, concluímos que a transformação T não atinge todos os vetores de R^3.

Resposta

T não é sobrejetiva, pois o posto da matriz associada é 2, menor que a dimensão do contradomínio (3).

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