Seja alpha=v1 v2, ldots, vn uma base de um espaço vetorial V. Se v in V é tal que [v]alpha=(a1, a2, ldots, an), determine sob quais condições o conjunto v+v1, v+v2, ldots, v+vk ainda é uma base de V.

Passo 1

O enunciado diz que alpha=v1,v2,dots,vn é uma base de um espaço vetorial V de dimensão n e que
[v]alpha = (a1,a2,dots,an)
Queremos saber quando o conjunto
,v+v1,;v+v2,;dots,;v+vk
é uma base de V. Como uma base de V precisa ter exatamente n vetores, só faz sentido ter esperança de base quando k=n. Aí o novo conjunto
beta = ,v+v1,;v+v2,;dots,;v+vn
tem n vetores, e basta ver quando ele é linearmente independente (ou equivalente, quando a matriz de passagem de alpha para beta é invertível).

Passo 2

Escrevemos cada vetor em coordenadas na base . Como
onde é o -ésimo vetor canônico, segue que
Chamemos esse vetor de coluna . Então

Passo 3

A matriz de passagem P de alpha para beta tem como colunas b1,b2,dots,bn. Em notação de matrizes,
P = l[b1;;b2;cdots;bnr] = l[a+e1;;a+e2;cdots;a+enr] = In + a,(1,1,dots,1),
isto é, uma atualização de posto um de In. Para saber quando P é invertível, usamos o lema do determinante para atualizações de posto um:
detl(In + u,v^Tr) = 1 + v^T u
Aqui u=a e v=(1,1,dots,1)^T, logo
det P = 1 + v^T a = 1 + sumi=1^n ai

Passo 4

O conjunto beta é base de V se e só se P for invertível, ou seja se e só se
det P neq 0 Long<=ftrightarrow 1 + sumi=1^n ai neq 0

Resposta

O conjunto ,v+v1,dots,v+vn é base de V exatamente quando
1 + sumi=1^n ai neq 0
Se k<n, então v+v1,dots,v+vk tem menos de n vetores e não pode ser base de V.

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