Seja
uma base de um espaço vetorial
. Se
é tal que
, determine sob quais condições o conjunto
ainda é uma base de
.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma base de um espaço vetorial
de dimensão
e que
Queremos saber quando o conjunto
é uma base de
. Como uma base de
precisa ter exatamente
vetores, só faz sentido ter esperança de base quando
. Aí o novo conjunto
tem
vetores, e basta ver quando ele é linearmente independente (ou equivalente, quando a matriz de passagem de
para
é invertível).
Passo 2
Escrevemos cada vetor
em coordenadas na base
. Como
onde
é o
-ésimo vetor canônico, segue que
Chamemos esse vetor de coluna
. Então
Passo 3
A matriz de passagem
de
para
tem como colunas
. Em notação de matrizes,
isto é, uma atualização de posto um de
. Para saber quando
é invertível, usamos o lema do determinante para atualizações de posto um:
Aqui
e
, logo
Passo 4
O conjunto
é base de
se e só se
for invertível, ou seja se e só se
Resposta
O conjunto
é base de
exatamente quando
Se
, então
tem menos de
vetores e não pode ser base de
.